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示性函数¶

定义: \(\mathbb{I}_A(\omega)=\begin{cases}1,\omega\in A\\0,\omega\notin A\end{cases}\)
- 输入为一个随机变量,随机变量取值为下标集合\(A\),输出为\(1\) ,不然输出为\(0\)
- 输出也是一个随机变量
\(E\mathbb{I}_A=1\times P(A)+0\times P(A^c)=P(A)\),也就是说\(\mathbb{I}_A\)的期望就是事件:输入随机变量取值在下标集合\(A\)中"的概率

\(\alpha_i=p_0(i)=p(X_0=i)\)
- \(\alpha = (\alpha_i)_{i\in \mathcal{E}}\)
\(\lambda_i=\lambda(i)\)表示状态\(i\)的分布,(分布在状态\(i\)的可能性)
Lemma 2.6.5. Let \(i \in E\) be any state. The following conditions are equivalent:
- (1) State \(i\) is aperiodic.
- (2) There is \(N \in \mathbb{N}\) such that for every natural number \(n>N\) we have \(p_{i i}^{(n)}>0\).
- 这个引理和书本注记4.2 等同
  - \(\forall i,\exists m\in\mathbb{N},s.t.\forall n\geq m\)
  - \[p_{ii}^{(nd_i)}>0\]
    - 引理证明中提到的number theory 可能在于\(\gcd\{n_1,n_2,\cdots,n_s\}=1\implies\exists k_1,k_2,\cdots,k_s,s.t.k_1n_1+k_2n_2+\cdots+k_sn_s=1\),然后使用数学归纳法证明
\(f_i:=p_i(\exists n,s.t.X_n=i|X_0=i)\)
- \(i\)常返\(\iff f_i=1\)
- \(i\)瞬时\(\iff f_i<1\)
\(B_k:=\#\{n:X_n=i\}\),表示到达状态\(i\)的次数
- \(p_i(B_k)=f_i^k\)(Markov 性)

定理 4.1
- \(p_{ij}^{(m)},p_{ji}^{(n)}>0\implies p_{jj}^{(m+n)}\geq p_{ij}^{(m)}p_{ij}^{(n)}>0\)
- \(A\)是给定数集,若\(d_1=\gcd A,d_2\mid a ,\forall a\in A\implies d_2\mid d_1\)
定理 4.2
定理 4.3
- 如果有一个路径经过了常返状态\(i\)(由 Markov 的性质,相当于从\(i\)出发),那么路径上的每一个状态一定都能到达状态\(i\),若不然有\(j,s.t.i\to j,j\not\to i\),那么从此以后再也不能回到状态\(i\)了,与常返矛盾
定理 4.4
- 定理 4.2 给出
定理 4.5
- \(p(A\cap B|C)=p(A|C)p(B|A\cap C)\)
- \(p_{jj}^{(n)}=\sum\limits_{k=1}^n f_{jj}^{(k)}p_{jj}^{(n-k)}\)
  - 从状态\(j\)出发回到状态\(j\)的概率等于,第一次回到状态\(j\)的概率乘以从第一次回到状态\(j\)之后再回到状态\(j\)的概率(Markov 性)
- 交换求和的部分最好是一个一个写出来观察,不是很显然