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Brown运动

Brown 运动及基本性质

Brown运动定义

  • 设 \(B(t)\) 是实数值随机过程, 如果满足
    • 初始值: \(B(0)=0\)
    • 独立增量: \(0<t_1<\cdots<t_k<\cdots, \implies B(t_1), B(t_2)-B(t_1), \cdots, B(t_k)-B(t_{k-1})\) 相互独立
    • 平稳增量: \(0\leq s<t, \implies B(t)-B(s), B(t-s)\) 同分布
    • 正态分布: \(\forall t>0, B(t)\sim N(0, \sigma^2 t)\) 则称 \(B(t)\) 为参数为 \(\sigma^2\) 的 Brown 运动, 当 \(\sigma^2=1\) 时, 称为标准 Brown 运动

[!NOTE] 以下若未特别说明, 均指标准 Brown 运动

Brown运动的基本性质

  • \(\mu(t)=E(B(t))=0\)
  • \(Var(B(t))=E(B^2(t))=t\)
  • \(EB(t)^m = \begin{cases} t^k(2k-1)!! & m=2k \\ 0 & m=2k+1 \end{cases}\)
  • \(r_B(s, t)=E(B(s)B(t))=s, s<t\)

    [!NOTE] \(\forall s, t.\geq 0, r_B(s, t)=\min(s, t)\)

[!NOTE] 任意均值为0, 自相关函数为 \(r(s, t)=\min(s, t)\) 的正态过程都是 Brown 运动

  • 密度函数 \(p(t, x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{x^2}{2t}}\)

  • 设 \(s<t\)

    • 若 \(B(s)=x\), 则

      • \[p_{t|s}(y|x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi(t-s)}}e^{-\frac{(y-x)^2}{2(t-s)}}\quad y\in\mathbb{R}\]

    • 若 \(B(t)=y\), 则

      • \[p_{s|t}(x|y) = \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{2\pi s(t-s)}} e^{-\frac{(tx-sy))^2}{2(t-s)}} \quad x\in\mathbb{R}\]

  • \(\text{Brown}\) 运动的曲线处处连续但处处不可微

\(\text{Brown}\) 运动变化形式

定理 7.1

  • 设 \(X(t)\) 是实数值正态过程, 若 \(E(X(t))=0, r(s, t)=\min(s, t)\), 则 \(X(t)\) 是 \(\text{Brown}\) 运动

推论 7.1

  • 下列过程是 \(\text{Brown}\) 运动

    • 给定 \(t_0\geq 0\) 定义

      • \(X(t) = B(t+t_0)-B(t_0)\)

        • 相当于把坐标轴的原点平移到 \((t_0, B(t_0))\) 处

    • 给定 \(c>0\) 定义

      • \(X(t) = \frac{1}{\sqrt{c}}B(ct)\)

        • 压缩时间轴

    • 定义

      • \(X(t) = \begin{cases} tB(t^{-1}) & t>0 \\ 0 & t=0\end{cases}\)

若干相关过程

  • Brown 桥

    • \(B^0(t)= B(t)-tB(1), 0\leq t\leq 1\)

      • \(r(s, t)=E(B^0(s)B^0(t))=\min\{s, t\} (1-\max\{s, t\}), 0\leq s, t \leq 1\)

  • 反射 Brown 运动

    • \(X(t)= |B(t)|\)

      • \(EX(t)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}t, EX^2(t)=t, t\geq 0\)
      • \(p(t, x)=\sqrt{\frac{2}{\pi t}}e^{-\frac{x^2}{2t}}, x\geq 0\)

  • 几何 Brown 运动, 给定 \(\alpha, \beta\in \mathbb{R}\)

    • \(X(t)=e^{\alpha t+\beta B(t)}, t\geq 0\)

  • 积分过程

    • \(X(t) = \int_0^t B(s)ds\sim N(0, \frac{t^3}{3})\)

      • \(EX(t)=0\)
      • \(r_X(s, t)=\frac{s^2t}{2}-\frac{s^3}{6}, s\leq t\)

最大值分布

定义 最大值

  • \[M_t=\max\limits_{0\leq s\leq t}B(s)\]
    • 即 \(0\) 到 \(t\) 之间 \(B(s)\) 的最大值

定理 7.2

  • \[M_t\overset{d}{=} |B(t)|\]

定义 首中时

  • \[T_a = \begin{cases} \inf\{t\geq 0:B(t)>a\} & a>0 \\ \inf\{t\geq 0:B(t)<a\} & a<0 \end{cases}\]
  • \[T_a = \inf\{t\geq 0:B(t)=a\}\]
    • 即 \(B(t)\) 首次击中 \(a\) 的时刻

定理 7.3

  • 令 \(f_a(t)\) 表示 \(T_a\) 的密度函数, 则

    • \[f_a(t) = \frac{|a|}{\sqrt{2\pi}t^{\frac{3}{2}}}e^{-\frac{a^2}{2t}} , t>0\]

推论 7.2

  • 给定 \(a\in \mathbb{R}\)

    • \[P(T_a<\infty)=1, ET_a=\infty\]

  • 无论 \(|a|\) 多大, 总会在有限时间内到达, 但是到达的时间期望是无穷大

定理 7.4

  • 令 \(a<0<b\) 那么

    • \[P(T_a<T_b)=\frac{b}{b-a}\]
    • \[P(T_a>T_b)=\frac{|a|}{b-a}\]

推广

  • \[X(t)=B(t)-bt\]
    • 是一个连续正态过程, 但是不再是 \(\text{Brown}\) 运动

  • 考虑 \(X(t)\) 的最大值和首中时

    • \(\max\limits_{0\leq s\leq t}X(s)\)

    • \(T_{a, b}=\begin{cases} \inf\{t\geq 0:X(t)\geq a\} & a>0 \\ \inf\{t\geq 0:X(t)\leq a\} & a<0 \end{cases}\)

      • 实际上 \(T_{a, b}\) 是 \(B(t)\) 首次击中 \(bt+a\) 的时刻, 也就是

      • \[T_{a, b} = \begin{cases} \inf\{ t\geq 0:B(t)\geq a+bt \} & a>0 \\ \inf\{ t\geq 0:B(t)\leq a+bt \} & a<0 \end{cases}\]

  • 有

    • \[P(\max\limits_{0\leq s\leq t}X(s)\geq a) = P(T_{a, b}\leq t)\]

定理 7.5

  • \(T_{a, b}\) 的密度函数为

    • \[f_{a, b}(t) = \frac{|a|}{\sqrt{2\pi}t^{\frac{3}{2}}}e^{-\frac{(a+bt)^2}{2t}}\]

Ito 积分

  • \[\int_{0}^{t} f(s) dB(s)\]
    • 是一个随机变量

定理 7.7

  • \(\text{Brown}\) 运动的曲线是无界变差函数

    • \[\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^{2^n} \left|B\left(\frac{i}{2^n}\right)-B\left(\frac{i-1}{2^n}\right)\right|^2 = \infty\]

Ito积分定义

  • 若 \(f\) 是非随机有界变差函数

    • \[\int_0^tf(s)dB(s)=B(t)f(t)-\int_0^tB(s)df(s)\]

  • 以下讨论 \(f\) 是随机过程,且做假设

    • \(f\) 可测
    • \(f\) 关于 \(B\) 适应

    • \(f\) 是二阶矩过程且

      • \[\int_0^T E[f^2(t)]dt<\infty\]

  • 若存在 \(m\geq 1, s.t.0=t_0<t_1<\cdots<t_m=T,\xi_0, \cdots, \xi_{m-1}\) 使得 \(E\xi^2_i<\infty\)

    • \[f(t)=\sum\limits_{i=0}^{m-1}\xi 1_{(t_i, t_{i+1}]}\]

    • 则称 \(f\) 是初等随机过程

    • 对初等随机过程定义

      • \(I(f)=\sum\limits_{i=0}^{m-1}\xi_i(B(t_{i+1})-B(t_i))\)

    • 则其有以下性质

      • 可加性 \(I(f+g)=I(f)+I(g)\)
      • 零均值 \(EI(f)=0\)
      • 等距性 \(E[I(f)^2]=\int_0^T E[f^2(t)]dt\)

[!NOTE] 略过,直接看怎么算

Ito 积分计算

  • 设 \(f\) 是非随机连续函数

    • \[\int_0^t f(s)dB(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}f(B(t_{i-1}))(B(t_i)-B(t_{i-1}))\]
    • \[\int_0^t f(s)dB(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}f(t^*_i)(B(t_i)-B(t_{i-1}))\]
      • \(t^*_i\in [t_{i-1}, t_i]\)

常用结论

  • \[\int_0^t B(s)dB(s)=\frac{1}{2}B^2(t)-\frac{1}{2}t\]
  • \[\int_{0}^{b} B(s)^2dB(s)=\frac{1}{3}B(t)^3-\int_{0}^{t}B(s)ds\]

Ito 公式

  • 设 \(F : \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) 二阶可微, 则

    • \[F(B(t))=F(0)+\int_{0}^{t}F'(B(s))dB(s)+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}F''(B(s))ds\]
      • 也就是
    • \[dF(B(t))=F'(B(t))dB(t)+\frac{1}{2}F''(B(t))dt\]

  • 于是

    • \[\int_{0}^{t}F'(B(s))dB(s)=F(B(t))-F(0)-\frac{1}{2}\int_{0}^{t}F''(B(s))ds\]