Galton-Watson分枝过程¶

简介¶

令 $\xi$ 为一非负整数值随机变量, 分布如下
- \[P(\xi = k) = p_k, k \geq 0, p_0 < 1\]
令 $Z_0=1, Z_{n+1} = \sum\limits_{j=1}^{Z_n}{\xi_{n;j}}$ , 其中 $\xi_{n;j}$ 独立同分布于 $\xi$

$Z = (Z_n)_{n \geq 0}$ 是一个马尔可夫链, 状态空间为 $\mathbb{Z}^+$, 转移概率为
- \[p_{ij} = P(\sum\limits_{k=1}^i\xi_{i;k}=j) , i, j \geq 0\]

设 $E\xi = \mu, Var\xi = \sigma^2, $ 则, 对任意 $n \geq 0$
- \[E(Z_n) = \mu^n\]
- \[Var(Z_n) = \sigma^2\mu^{n-1}\frac{1-\mu^n}{1-\mu}= \sigma^2\mu^{n-1}(1+ \mu + \cdots + \mu^{n-1})\]

[!NOTE] $\mu<1$ 则说明每个个体平均繁衍个体数小于 1, 从而种群最终灭绝$\\$ $\mu>1$ 则说明每个个体平均繁衍个体数大于 1, 种群数目以几何级数增长$\\$ $\mu=1$ 则说明种群数目总体保持不变

对非负整数随机变量 $\xi$, 定义:
- \[\phi(s) = E(s^\xi) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}{s^kp_k}, s\in [0, 1]\]
- 为 $\xi$ 的生成函数
显然 $\phi(s) \leq \sum\limits_{k=0}^{\infty}{p_k} = 1$, 从而 $\phi(s)$ 在 $[0, 1]$ 上一致收敛

$\phi(1) = 1, \; 0\leq \phi(s)\leq 1$
若 $E\xi^k <\infty, $ 则 $\phi$ 在 $[0, 1]$ 上 $k$ 次可微, 特别的当 $E\xi^2 < \infty$ 时
- \[\phi'(1) = E\xi, \; \phi''(1) = E\xi(\xi-1)=E\xi^2 - E\xi\]
$\phi(s)$ 在 $s=0$ 处无穷次可微, 并且
- \[p_k = \frac{\phi^{(k)}(0)}{k!}, \forall k\geq 0\]
- 约定 $\phi^{(0)}(0)=\phi(0)$
设 $\xi, \eta$ 为两个独立非负整数值随机变量, 那么 $\xi+\eta$ 的生成函数等于各自生成函数的和, 即
- $\phi_{\xi+\eta} = \phi_\xi+\phi_\eta$ 容易推广到任意有限个独立随机变量的和

记 $\phi_k$ 为 $Z_k$ 的生成函数, 则
- \[\phi_k(s) = \begin{cases} \phi_\xi(s) & k=1 \\ \phi(\phi_{k-1}(s)) & k\geq 2 \end{cases}\]
注意到 $(1, s, s^2, \cdots, s^k, \cdots)$ 线性无关, 从而在 $\phi_n(s)$ 的表达是中, $s^l$ 的系数就是 $p_l$

记 $\alpha_n = P(Z_n = 0 ), n\geq 1$
- 则有 $\alpha_{n+1} = \alpha_n + P(Z_n \neq 0 \text{但} Z_{n+1} = 0)$
- 从而 $\{\alpha_n\}$ 是单调非负不减数列, 又 $\alpha_n\leq 1$, 据单调有界定理, 其极限存在, 记为 $\tau$, 即
  - \[\tau = \lim\limits_{n\to\infty} \alpha_n\]
  - 称 $\tau$ 为 灭绝概率
当 $\mu<1, P(Z_n>0) = P(Z_n\geq 1) \leq EZ_n = \mu^n\to 0$, 容易得到 $\tau = 1$ , 必然灭绝, 利用生成函数有
- \[\alpha_n = \phi_n(0)=\phi(\phi_{n-1}(0))=\phi(\alpha_{n-1})\]
  - 令 $n\to\infty$, 有
- \[\tau = \phi(\tau)\]
- 这样灭绝概率 $\tau$ 是方程 $s = \phi(s)$ 的一个解, 注意到 $s=1$ 总是方程的解, 那么如果方程只有一个解就必然是 $s=1\;(i.e.\tau = 1)$

设 $p_0>0$ (若不然肯定不会灭绝)
- 若 $\mu\leq 1$ 则 $\tau =1$
- 若 $\mu > 1$ 则, $\tau$ 为方程 $s=\phi(s)$ 的最小正解, 且 $0<\tau<1$