Poisson 过程¶
- 用\(N(t)\)表示时间 \((0,t]\) 中事件发生的次数, \(\lambda\) 是单位时间发生的事件数, \(S_i\) 表示第 \(i\) 次事件发生的时间
Poisson分布¶
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\[\forall t>0,P(N(t)=k)=\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t},k\in N\]
特性¶
1.\(E(N(t))=\lambda t\)¶
证明很简单
2.\(Var(N(t))=\lambda t\)¶
证明也很简单
3.自相关函数¶
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\[r_N(s,t)=E(N(s)N(t))=\lambda^2st+\lambda s\]
- <这里为什么关于 s,t 不对称?>
4.自协方差函数¶
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\[Cov(s,t)=E(N(s)N(t))-E(N(s))E(N(t))=\lambda s\]
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<这里为什么关于 s,t 不对称?>
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事实上这也可以看做一种对称,\(min{s,t} = min{t,s} = s\)
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Poisson流¶
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\(N(t)\sim \mathcal{P}(\lambda t)\),则\(N(t)\)是一个 \(Poisson\) 流
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考察事件发生的时间的分布,也就是\(S_i\)的分布
- \(\forall t>0,S_>t\iff N(t)=0\),那么 \(P(S_1>t)=P(N(t)=0)=e^{-\lambda t}\),从而\(S_1\sim \mathcal{E}(\lambda)\)
第一个到达的时刻服从参数为\(\lambda\)的指数分布
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对于\(n\geq 1\),\(S_n>t\iff N(t)\leq n-1\),那么\(P(S_n>t)=P(N(t)\leq n-1)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t},\)
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从而有\(P(S_n\leq t)=1-\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t}\)
- \(P_{S_n}(t)=\frac{\lambda^nt^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda t},t>0\) (gamma 分布)
时间间隔¶
- 若定义\(X_i=S_i-S_{i-1}\),则\(X_i\)是独立同分布的指数分布,参数为\(\lambda\)
Poisson 可加性(按概念可分)¶
- \(N_1(t)\sim \mathcal{P}(\lambda t),N_2(t)\sim \mathcal{P}(\mu t)\),且\(N_1(t),N_2(t)\)相互独立,则\(N_1(t)+N_2(t)\sim \mathcal{P}((\lambda+\mu)t)\)
到达时刻的条件分布¶
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解决的问题是,已知\(N(t)=n\),求\(S_1,S_2,\cdots,S_n\)的联合分布
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1.\(N(t)=0\)的情况是平凡的,\(N(t)=1\)时,\(S_1\)可以在\((0,t]\)中任意取值,所以\(S_1\)的分布是均匀分布
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2.\(N(t)=2\) 的情况下,\(S_,S_2\) 也相互独立(若不纠结顺序,也就是事件 1,2发生的时间),因此随机取值,但是(事实上我们考虑的\(S_1,S_2\)有先后顺序,)\(S_1\)总是优先于\(S_2\)到达.因此不妨把\(S_1,S_2\) 理解为时间段内两个独立同分布的均匀随机变量的最大最小值
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3.更一般的,可以认为 n 个 \(S_i\)的分布也是 n 个独立同分布的随机变量的次序排列,换句话说
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\[(S_1,S_2,\cdots,S_n|N(t)=n)\overset{d}{=}(U'_1,U'_2,\cdots,U'_n)\]
- 其中\(\{U'_i\}_{i=1}^n\)是 n 个均匀分布随机变量\(\{U_i\}_{i=1}^n\)的次序统计量
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有:
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\[P_{S_1,S_2,\cdots,S_n|N(t)}(x_1,x_2,\cdots,x_n|n)=\frac{n!}{t^n},0<x_1<\cdots<x_n\]
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其余情况是取值为 0,如果不是次序统计量那么显然没有\(n!\),在 n 个 \(x_i\)的随机排列中只有一种是符合次序的, 因此对应的样本空间(非0)被缩小了到原来的1/n!,相应的概念密度也就扩大了n!倍
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最后有:
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\[E(\sum\limits_{i=1}^nf(S_i)|N(t)=n)=E(\sum_{i=1}^nf(U_i))=n\int_0^tf(x)dx\]
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次序统计量¶
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设\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)独立同分布,分布函数为 \(F\) ,密度函数为 \(f\), 且\(X_{(1)},X_{(2)},\cdots,X_{(n)}\)是\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)的次序统计量,那么有
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\[ P(X_{(k)}\leq x)=\sum\limits_{j=k}^nC_n^jF(x)^j[1-F(x)]^{n-j} \]
- 也就是说大于 \(x\) 的随机变量个数至少有 \(k\) 个
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\[ p_k(x)=C_n^1p(x)C_{n-1}^{k-1}F(x)^{k-1}[1-F(x)]^{n-k}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}F(x)^{k-1}p(x)[1-F(x)]^{n-k} \]
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先选一个等于 \(x\) 的,然后 \(k-1\) 个小于 \(x\) 的,剩下的大于 \(x\)
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也就是说我们在考虑次序统计量的时候,要通过分析原始随机变量来间接考察
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\(EU_{(k)}=\frac{k}{n+1}t\)
复合 Poisson 过程¶
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这一节主要研究\(Z(t)=\sum\limits_{i=1}^{N(t)}\xi_i\)其中\(N(t)\sim P(\lambda t)\) ,\(\xi_i\)独立同分布,且\(E\xi_i=\mu,Var\xi_i=\sigma^2\)
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\(EZ(t)=\mu\lambda t\)
- \(EZ(t) = E\sum\limits_{i=1}^{N(t)}\xi_i= \sum\limits_{n=0}^\infty E(\sum\limits_{i=1}^{N(t)}\xi_i|N(t)=n)P(N(t)=n)=\sum\limits_{n=0}^\infty E\sum\limits_{i=1}^n\xi_i P(N(t)=n)=\sum\limits_{n=0}^\infty n\mu P(N(t)=n)=\mu EN(t)=\mu\lambda t\)
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\(VarZ(t)=(\sigma^2+\mu^2)\lambda t\)
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\[E(Z(t)^2) = E(\sum\limits_{i=1}^{N(t)}\xi_i)^2=\sum\limits_{n=0}^\infty E((\sum\limits_{i=1}^{N(t)}\xi_i)^2|N(t)=n)P(N(t)=n)=\sum\limits_{n=0}^\infty E(\sum\limits_{i=1}^n\xi_i)^2P(N(t)=n)=\sum\limits_{n=0}^\infty (n\sigma^2+\mu^2n^2)P(N(t)=n)=\sigma^2EN(t)+\mu^2E(N(t))^2=(\mu^2+\sigma^2)\lambda t+\mu^2\lambda^2 t^2\]
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\(VarZ(t)=E(Z(t)^2)-(EZ(t))^2=(\sigma^2+\mu^2)\lambda t\)
- 这里\(E(\sum\limits_{i=1}^n\xi_i)^2=nE\xi_i^2+(n^2-n)E\xi_i\xi_j,i\neq j\)
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- 不交的时间区间\((t_1,t_2],(t_3,t_4]\)上,\(Z(t_2)-Z(t_1)\)和\(Z(t_4)-Z(t_3)\)是独立的)
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\(Z(t_2)-Z(t_1)= Z(t_2-t_1)\)
- 证明\(Z(s)-Z(t),Z(t)\)相互独立.用特征函数证明:
- 设\(\phi(t)\)是\(\xi_i\)的特征函数:
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\[Ee^{iu(Z(s)-Z(t))+ivZ(t)}=Ee^{iu\sum\limits_{i=N(t)+1}^{N(s)}\xi_i+iv\sum\limits_{i=1}^{N(t)}\xi_i}=E(\phi(u)^{N(s)-N(t)})(\phi(v))^{N(t)}=E(\phi(u)^{N(s)-N(t)})E(\phi(v))^{N(t)}=Ee^{iu(Z(s)-Z(t))}Ee^{ivZ(t)}\]
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平稳性类似:利用 Poisson 过程的平稳性,可以证明\(Z(t)\)是平稳的
- \(Ee^{iu(Z(s)-Z(t))}=Ee^{iu\sum\limits_{i=N(t)+1}^{N(s)}\xi_i}=E(\phi(u))^{N(s)-N(t)}=E\phi(u)^{N(s-t)}=Ee^{iuZ(s-t)}\)
非齐次 Poisson 过程¶
之前学习的 Poisson 过程只和时间段有关,换句话说系统在各个时刻的繁忙程度是一样的
但是比如食堂就餐,很明显吃饭时间人更多,这就是非齐次的情况
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假设\(t>0,N(t)\)为\((0,t]\)中事件发生的次数:
- 独立条件:\(N(0)=0,N(t)\geq 0\)
- 独立增量:\(N(t)-N(s)\)与\(N(s)\)相互独立
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稀有性:\(\exists\)非负函数\(\lambda(t)\),使得:
- \(P(N(t+\Delta t)-N(t)=1)=\lambda(t)\Delta t+o(\Delta t)\)
- \(P(N(t+\Delta t)- N(t)\geq 2)=o(\Delta t)\)
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定理3.8:
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在上述假设下,\(N(t)\)服从参数为\(m(t)=\int_0^t\lambda(s)ds\)的 Poisson 分布,并且\(\forall s<t\):
- \(P(N(t)-N(s)=k)=\frac{[m(t)-m(s)]^k}{k!}e^{-[m(t)-m(s)]},\forall k\geq 0\)
- 称\(N=(N(t),t\geq 0)\)是强度为\(\lambda(t)\)的非齐次Poisson过程
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证明:定义\(p_k(t)=P(N(t)=k)\)从\(p_0(t)\) 开始,由假设的后两条:
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\(\begin{aligned} p_0(t+\Delta t) & =p_0(t) P(N(t, t+\Delta t]=0) \\ & =p_0(t)[1-\lambda(t) \Delta t+o(\Delta t)] \\ & =p_0(t)-p_0(t) \lambda(t) \Delta t+o(\Delta t) . \end{aligned}\)
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令\(\Delta t \rightarrow 0\), 得
- \(p_0^{\prime}(t)=-\lambda(t) p_0(t) .\)
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求解齐次常微分方程, 并利用初始条件 \(p_0(0)=1\) 得
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\(p_0(t)=\mathrm{e}^{-m(t)} .\) - 类似地, 由假设 (ii) 和 (iii) 得
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\(p_k^{\prime}(t)=-\lambda(t) p_k(t)+\lambda(t) p_{k-1}(t)\) 递推得到:
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\(p_k(t)=\frac{[m(t)]^k}{k !} \mathrm{e}^{-m(t)}\)
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\(N(t)\)的特征:
- \(E N(t)=m(t)\)
- \(Var N(t)=m(t)\)
- 自相关函数\(r_N(s, t)=E(N(s)N(t))=m^2(s)+m(s)+m(s)m(t-s)\)
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定理 3.9:
- 满足上述非齐次 Poisson 过程的概率密度函数是多少呢?
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令\(t>0,n\geq 1,\)假设\(V_i\)独立同分布,密度函数是\(\frac{\lambda(u)}{m(t)},0\leq u\leq t\),那么有:
- \((S_1,S_2,\cdots,S_n|N(t)=n)\overset{d}{=}(V'_1,V'_2,\cdots,V'_n)\),这里 \(S_i\)是第 i 个到达的时间点
- \(i.e.\quad p(s_1,s_2,\cdots,s_n|n)=n!\prod\limits_{i=1}^{n}\frac{\lambda(s_i)}{m(t)},0\leq s_1<s_2<\cdots<s_n\)
多维Poisson点过程¶
- 略过