随机过程的基本概念¶

随机过程的定义¶

概率空间\((\Omega,\mathcal{A},P)\)上的随机过程是一族随机变量\(X(\omega,t):\Omega\to\mathcal{E},t\in T\)，其中\(T\)称为时间参数空间,\(\mathcal{E}\) 称为状态空间

1-维分布:\(F_t(x)=P(X(t)\leq x)\)
2-维分布:\(F_{t_1,t_2}(x_1,x_2)=P(X(t_1)\leq x_1,X(t_2)\leq x_2)\)
k-维分布:\(F_{t_1,t_2,\cdots,t_k}(x_1,x_2,\cdots,x_k)=P(X(t_1)\leq x_1,X(t_2)\leq x_2,\cdots,X(t_k)\leq x_k)\)
随机过程 \(X\) 的概率分布通过它的所有有限维分布函数族来描述
两个随机过程 \(X,Y\) 同分布当且仅当他们的任意 k-维分布函数(\(k\geq 1\)) 都相同
计算有限维分布:
直接计算
计算 \((X(t_1),X(t_2)-X(t_1),\cdots,X(t_k)-X(t_{k-1}))\) 的联合分布,再通过线性变换得到 \(X(t_1),X(t_2),\cdots,X(t_k)\) 的联合分布
若\(\forall t_1<t_2<\cdots<t_k\),\(\forall x_1,x_2,\cdots,x_k\in R\),在给定\(X(t_1)=x_1,X(t_2)=x_2,\cdots,X(t_{k-1})=x_{k-1}\)的条件下,可以计算出\(X(t_k)\)的条件分布,则可以通过递推的方式计算出\(X(t_1),X(t_2),\cdots,X(t_k)\)的联合分布

若\(\forall t \in T,E|X(t)|<\infty\)，则称\(\mu_X(t)=EX(t),t\in T\)为随机过程\(X(t)\)的均值函数

若\(\forall t\in T,E|X(t)|<\infty\)，则称\(\sigma_X^2(t)=Var(X(t)),t\in T\)为随机过程\(X(t)\)的方差函数
\(r_X(s,t)=E(X(t)X(s)),s,t\in T\)为 \(X\) 的自相关函数
\(Cov(X(t),X(s))=E(X(t)X(s))-EX(t)EX(s)=r_X(s,t)-\mu_X(s)\mu_X(t)\)为自协方差函数

若\(\forall t\in T,E(X(t))^2<\infty\)
\(\mu_X(t)=\mu,\forall t\in T\)
\(r_X(s,t)=\tau_X(s-t)\;,\forall s,t\in T\),其中\(\tau_X:R\to R\)

则称随机过程\(X(t)\)为宽平稳过程

若\(\forall k\geq 1,t_1,t_2,\cdots,t_k\in T,t\in T\),\(\((X(t_1+t),X(t_2+t),\cdots,X(t_k+t))\overset{d}{=}(X(t_1),X(t_2),\cdots,X(t_k))\)\)

则称随机过程\(X(t)\)为严平稳过程

若\(\forall t_1<t_2<\cdots<t_n\),随机变量\(X(t_1),X(t_2)-X(t_1),\cdots,X(t_n)-X(t_{n-1})\)相互独立，则称随机过程\(X(t)\)为独立增量过程