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差分方程模型

差分方程

  • 差分方程是一种描述离散时间系统的数学模型
  • \(\Delta y_n=y_{n+1}-y_n\)
    • \(\Delta^2 y_n=\Delta(\Delta y_n)=\Delta y_{n+1}-\Delta y_n=y_{n+2}-2y_{n+1}+y_n\)
    • \(\Delta^m y_n=\Delta(\Delta^{m-1} y_n)=\sum\limits_{k=0}^m(-1)^{m-k}C_m^k y_{n+k}\)
  • 含有未知函数的有限差分的方程称为差分方程
    • \(F(n,y_n,\Delta y_n,\cdots,\Delta^m y_n)=0\)
    • \(F(n,y_n,y_{n+1},\cdots,y_{n+m})=0\)

  • \(m\)阶线性差分方程

    • \(a_m(n)y_{n+m}+a_{m-1}(n)y_{n+m-1}+\cdots+a_0(n)y_n=f_n\)
    • \(f_n=0\)时称为齐次差分方程,否则为非齐次差分方程
    • \(a_i(n)=a_i\)为常数时,称为常系数差分方程

  • 二阶线性常系数齐次差分方程

  • \(x_{n+2}+a_1x_{n+1}+a_2x_n=0\)
    • 其解空间为线性空间(对加法和数乘封闭)
  • 特征方程:\(\lambda^2+a_1\lambda+a_2=0\)
    • 若特征方程有两个不同实根\(\lambda_1,\lambda_2\),则通解为\(x_n=c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n\)
    • 若特征方程有两个共轭复根\(\lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta\),则通解为\(x_n=c_1\alpha^n\cos(\beta n)+c_2\alpha^n\sin(\beta n)\)
    • 若特征方程有一个重根\(\lambda_1=\lambda_2=\lambda\),则通解为\(x_n=(c_1+c_2n)\lambda^n\)

蛛网模型

  • 研究某些生产周期较长且不宜储存的商品均衡价格的动态稳定性的模型
  • 模型内容
  • 记在周期\(n\)某种商品的供求量为\(x_n\),价格为\(y_n\)
  • 需求函数\(x_n=f(y_n)\),需求函数反函数\(y_n=h(x_n)\),供给函数\(x_{n+1}=g(y_n)\),均衡点\((x_0,y_0)\) 满足\(x_0=g(y_0),y_0=h(x_0)\)
  • 需求函数和供给函数为线性函数
    • \(y_n-y_0=-\alpha(x_n-x_0),x_{n+1}-x_0=\beta(y_n-y_0)\)
    • \(\alpha,\)为减少一个单位价格的上涨量,\(\frac{1}{\alpha}\)为价格上涨一个单位需求的减少量
    • \(\beta\)为商品上涨一个单位时,下一周期供给量的增加量
    • 递推关系:\(x_{n+1}-x_0=-\alpha\beta(x_n-x_0)\)
    • \(x_{n}-x_0=(-\alpha\beta)^{n-1}(x_1-x_0)\)
    • 数列\(\{x_n\}\)收敛的充要条件是\(\alpha\beta<1\)
  • 均衡稳定性
  • 当一个均衡价格体系在受到干扰而偏离均衡点时，如果这个体系在市场机制的作用下能回到均衡点，则称这个均衡价格体系是稳定均衡，否则是不稳定均衡
  • 稳定均衡\(\iff\alpha\beta<1\)

种群增长模型

离散单种种群模型

  • 现实种群只由一个世代组成,相继世代之间没有重叠
  • 记\(x_n\)为第\(n\)代种群规模,则\(x_{n+1}=f(x_n)\)
  • 指数增长模型:每一代个体繁殖的个体数量与该代个体数量只比是一个常数
    • \(x_{n+1}=rx_n\)
    • \(r\)为增长率
  • Logistic 模型
    • 种群增长率仅与种群数量有关,且是种群数量的递减函数
    • \(\frac{\delta x_n}{x_n}=r(1-\frac{x_n}{K})\)
    • \(x_{n+1}=x_n+ rx_n(1-\frac{x_n}{K})\)
    • \(r\)为内禀增长率,\(K\)为环境承载量

一些定义

  • 平衡点: \(x^*\)是方程\(x=f(x)\)的解,称\(x^*\)是平衡点
  • 渐进稳定:只要\(x_0\to x^*\)就有\(x_n\to x^*\),则称平衡点\(x^*\)是渐进稳定的
    1. \(|f'|<1\Rightarrow x^*\)是渐进稳定的
    1. \(|f'|>1\Rightarrow x^*\)是不稳定的
    1. \(|f'|=1\Rightarrow x^*\)很多情况...

  • 周期点: \(x^*\)是称为\(k-\)周期点,若有\(f_k(x^*)=x^*,f_k=f(f_{k-1})\)

  • Logistic 模型的 2-周期点:\(x_\pm=\frac{r+2\pm \sqrt{r^2-4}}{2r}\)

  • \(f(x_)=x_+,f(x_+)=x_-\)
  • 当\(2<r<\sqrt{6}\)时,2-周期点是稳定的

混沌

  • Li-Yorke 定理:若实数轴区间有一个到自身的连续函数\(f\),\((f:[a,b]\to [a,b])\),若\(f\)有一个 3-周期点,那么\(\forall k,f\)有一个\(k-\)周期点

  • 存在不可数个初始点,函数从这些点出发得到的序列最终会变得杂乱无章,无规律可循(走向混沌)

  • Sharkovsky 定理:任一正整数\(n\)可唯一表示成\(n=2^s(2p+1)\),其中\(s,p\in \mathbb{N}\),所有正整数可以按这个顺序排成一列,称为\(S\)型排列

  • 若实数轴一区间到自身的连续函数\(f\)具有\(k\)-周期点,且正整数\(S\)型排序中,\(k\)先于\(m\),则\(f\)必定有\(m\)周期点