安全观演¶
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广场某处正在进行一场露天表演，若干人先后到达附近 并选择一个地点观看表演
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观众选择地点的要求
- 与舞台中心的距离不小于L
- 与之前到达的任一观众的距离不小于Y
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在满足上述要求的情况下，观众选择与舞台中心距离最近的某个点
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求第n个到达的观众与舞台中心的距离\(d_n\)的估计
上界估计¶
第 n 个人无法选到小于\(d_n\)的距离:
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以 O 为圆心,半径为\(d_n\)的圆的所有点在\(C,C_1\cdots,c_{n-1}\)内
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\(\pi d_n^2\leq (n-1)\pi r^2+\pi L^2\Rightarrow d_n\leq\sqrt{(n-1)r^2+L^2}\)
下界估计¶
- 记以 \(P_i\) 为圆心, \(\frac{r}{2}\) 为半径的圆记为 \(Q_i\)
- 圆 \(Q_1, Q_2, \cdots, Q_n\) 两两互不相交
- 圆 \(Q_1, Q_2, \cdots, Q_n\) 均在以 \(O\) 为圆心，半径为 \(d_n+\frac{r}{2}\)的圆内 \(\(\begin{aligned} & \pi\left(d_n+\frac{r}{2}\right)^2 \geq n \cdot \pi\left(\frac{r}{2}\right)^2 \Rightarrow d_n \geq\left(\frac{\sqrt{n}}{2}-\frac{1}{2}\right) r \\ & L=10, r=1, n=1000 \quad 15.31 \leq d_n \leq 33.15 \end{aligned}\)\)