常用定理结论习题方法

Stolz 定理

• 注意定理要求\(\{y_n\}\)为严格单调增加的正无穷大量

判断数列单调性

• 作差作商

• \(x_{n+1}=f(x_n)\)

  • 若 \(f^\prime(x)>0\)

    • \(x_2\geq x_1 \implies x_{n+1}\geq x_n\)
    • \(x_2\leq x_1 \implies x_{n+1}\leq x_n\)

[!NOTE] \(x_{n+1}-x_n = f(x_n)-f(x_{n-1})=f^\prime(\xi_n)(x_n-x_{n-1})\) 和数学归纳法

• 若 \(f^\prime(x) \leq r<1\) 也收敛

可积性

• 可积充要条件

  • 1. \(\sum\limits_{i=0}^{\infty} \omega_i\Delta x_i\to 0\)
  • 1. 振幅不能任意小的区间长度可以任意小
  • 1. 对任意 \(\varepsilon>0,\exists\) 划分 \(P\) 使得 \(\sum\limits_{i=1}^{n} \omega_i\Delta x_i < \varepsilon\)
    2. 只要找到一个
  • 1. \(f\) 的不连续点集是零测的

• 充分条件

  • 1. \(\omega_i < \varepsilon\)
    2. \(\implies \sum\limits_{i=1}^{n} \omega_i\Delta x_i < \varepsilon (b-a)\)
  • 1. \(\omega_i^f < \omega_i^g\), \(g\) 可积
  • 1. 变差有界,即 \(\sum \omega_i < M\)
    2. \(\implies \sum \omega_i\Delta x_i < \lambda M\)

Dini定理

• 闭区间 \([a,b]\) 上的连续函数列 \(\{u_n(x)\}\) 的和函数收敛到连续函数 \(f(x)\), 那么 \(\sum u_n(x)\) 一致收敛到 \(f(x)\)

证明多元函数的可微性

• 1. 证明

  2. \[\lim\limits_{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0} \frac{\Delta f-f_x\Delta x-f_y\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}=0\]

• 1. 证明

  2. \[f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) = f_x\Delta x+f_y\Delta y+\varepsilon_1\Delta x+\varepsilon_2\Delta y\]

实数完备性定理

• 确界定理(完备性公理):非空有上界的实数集必有上确界

• 单调有界定理:单调有界数列必收敛

• \(\text{Cauchy}\)准则:数列收敛的充要条件是数列为\(\text{Cauchy}\)列(基本列)

• 致密性定理:有界数列必有收敛子列

  • 聚点原理: 有界数列必有聚点

• 闭区间套定理: 任意闭区间套有唯一公共点

• 有界覆盖定理: 闭区间上的开覆盖必有有限子覆盖