杂项¶

可积性理论¶

可积的充要条件
- 有界函数在闭区间上可积
  - \(\iff \text{对任何划分P,当分点足够细的时候} \sum \omega_i\Delta x_i = 0\)
  - \(\iff \forall \varepsilon>0,\exists P,s.t.\sum\limits_{P} \omega_i\Delta x_i < \varepsilon\)
  - \(\iff f\) 的不连续点集是零测的
  - \(\iff \forall \varepsilon>0,\delta > 0\) 使得那些使得振幅 \(\omega_i>\varepsilon\) 的区间长度 \(\sum \Delta x_i < \delta\)
    - 即振幅不能任意小的区间长度可以任意小

mix¶

[!NOTE] 调和级数不等式

\(\frac{1}{n+1} \leq \ln\frac{n+1}{n} \leq \frac{1}{n}\)

\(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n} \geq \ln (n + 1)\)

\[\lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} = \ln n + \gamma\]

[!NOTE] 平均值定理

\(a_n\to a\implies \frac{\sum\limits_{k}^n a_k}{n}\to a\)

\(a_n\to a\implies \sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^n a_k}\to a\)

\(\lim f(x)=A \implies \frac{1}{x}\int_0^x f(t)\mathrm{d}t\to A\)

\[\lim\limits_{n\to\infty} (a_n-a_{n-1})=a \implies \lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{n} = a\]
\[\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n-1}} = a \implies \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = a\]

[!EXAMPLE] 计算 \(\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{n(n+1)\cdots (2n-1)}}{n}\)

令 \(a_n = \frac{n(n+1)\cdots (2n-1)}{n^n}\), \(\frac{a_n}{a_{n-1}}\to \frac{4}{e}\), 所以 \(\sqrt[n]{a_n}\to \frac{4}{e}\)

[!NOTE] 平均就算差,开方就算比

\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac1{n^{k+1}}\left(1^k+\cdots+n^k\right)=\int_0^1x^k\mathrm{d}x=\frac1{k+1}\)

\[1^k + 2^k+\cdots + n^k \sim \frac{1}{k+1}n^{k+1}\]

[!EXAMPLE] \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln n}{\ln(1^{2022}+2^{2022}+\cdots+n^{2022})}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln n}{2023\ln n+\ln\frac1{n^{2023}}(1^{2022}+2^{2022}+\cdots+n^{2022})}=\frac1{2023}\)

[!NOTE] 极限压缩定理

若 \(\exists r\in (0,1),s.t. |X_{n+1}-a|\leq r |X_n-a|\), 则 \(\lim\limits_{n\to\infty} X_n = a\)

[!EXAMPLE] 设 \(x_{n+1}=\cos x_n,x_1\in[0,\frac\pi3]\),证明\(\lim_n\to\infty x_n\) 存在且极限为\(\cos x-x=0\) 的根

考虑\(f(x)=\cos x-x\),\(f^\prime ( x) = \sin x- 1\leq 0\) 单减 , 因此有唯一解,设 \(\cos a= a\)。由于 \(\(|x_{n+1}-a|=|\cos x_n-a|=|\cos x_n-\cos a|=|\sin\xi|\cdot|x_n-a|\)\) 而由于\(\xi\in[0,\frac\pi3]\),\(|\sin\xi|<\frac{\sqrt3}2\),因此\(|x_n-a|\to 0\)

压缩映射定理
- 若存在 \(r\in (0,1),s.t. |x_{n+1}-x_n|\leq r|x_n-x_{n-1}|\), 则数列 \(\{x_n\}\) 收敛
导数判断压缩映射
- 若 \(a_{n+1}=f(a_n)\), \(f^\prime(x)\leq r<1\), 则 \(\{a_n\}\) 收敛

[!EXAMPLE] 如 \(a_{n+1}=\cos a_n,a_1\in[0,\frac\pi3]\)

一致连续 Cantor 定理
- 闭区间上的连续函数一致连续
- 开区间上的连续函数一致连续 \(\iff\) 函数在端点的极限存在(有限)
  - 这是充要条件(对于有限区间来说)
判定
- 给定函数 \(f\) 和区间 \(I\) (可以无穷)
  - 若函数满足 \(\text{Lip}\) 条件,则函数一致连续
    - \(\exists M,s.t.\forall x,y\in I,|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|\)
  - 进一步,若导函数有界,则函数一致连续
    - \(|f^\prime(x)|\leq M\)

[!NOTE] 这两个条件都是充分的,比如函数 \(f(x)=\sqrt{x},x\in[0,1]\) 是一致连续的,但导函数无界

中值问题:例如要证明 \(f'(\xi)=g(\xi)\) 则构造 \(F(x)=f(x)-\int_0^xg(d)dt\)

Hadamard 定理
- 设 \(f\) 是 \([a,b]\) 上的下凸函数.那么对于 \(x_1<x_2\)
  - \[f(\frac{x_1+x_2}{2})\leq \frac{1}{x_2-x_1}\int_{x_1}^{x_2}f(t)dt \leq \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\]

无穷限反常积分的敛散性与无穷远处的极限关系¶

\(\int_0^\infty f(x)dx\) 收敛 \(\nRightarrow \lim\limits_{x\to\infty} f(x)=0\)
- 例如 \(\int_0^\infty \frac{\sin x^2}{x}dx=\int_0^\infty \frac{\sin t}{2\sqrt t}dt\) 收敛,但 \(\sin x^2\not\to 0\)
即使 \(f(x)\geq 0\) 任不能断言 \(f(x)\to 0\)
- 例如 \(f(x)=\begin{cases} \frac{1}{1+x^2} & x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \\ 1 & x\in \mathbb{Z} \end{cases}\)
即使 \(f(x)\geq 0\) 且连续,也不能断言 \(f(x)\to 0\)
- 例如 \(f(x) = \begin{cases} \frac{1}{n-\frac{1}{n}}(x-(n-\frac{1}{n})) & x\in [n-\frac{1}{n},n] \\ -\frac{1}{n-\frac{1}{n}}(x-(n+\frac{1}{n})) & x\in [n,n+\frac{1}{n}] \\ 0 & \text{其他} \end{cases}\)
即使把上面的条件改成 \(f(x)>0\) 也不能断言 \(f(x)\to 0\)
- 只需要取 \(f(x)=\max \{g(x),\frac{1}{x^2}\}\) ,其中 \(g(x)\) 是上面定义的函数
只有当 \(f(x)\) 是单调的,且 \(\int_0^\infty f(x)dx\) 收敛,才能断言 \(f(x)\to 0\)
或者 \(f(x)\) 一致连续(更强一点,有有界导函数),那么可以由 \(\int_0^\infty f(x)dx\) 收敛推出 \(f(x)\to 0\)

求数项级数 \(\sum a_n\) 的值可以求 \(S(x)=\sum a_nx^n\) 的值,然后取 \(x=1\)