Fourier级数¶

函数的 \(\text{Fourier}\) 级数展开¶

规定 \(f(x)\) 是 \([-\pi,\pi]\) 上的周期函数并且 \(\text{Riemann}\) 可积或者在反常积分意义下可积(直接称为可积),然后把 \(f\) 的定义延拓到 \(\mathbb{R}\)
\(\(\{1,\sin x,\cos x,\sin 2x,\cos 2x,\cdots,\sin nx,\cos nx,\cdots\}\)\) 是任意长度为 \(2\pi\) 的区间上的正交函数系
若
- \[f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\]
  - 则
- \[a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx dx \quad n=0,1,\cdots\]
- \[b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx dx \quad n=1,2,\cdots\]
- 称为 \(\text{Euler-Fourier}\) 公式,右侧的级数称为 \(f(x)\) 的 \(\text{Fourier}\) 级数, \(a_n,b_n\) 称为 \(\text{Fourier}\) 系数
定义 \(S_m(x)=\frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{m}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\),称为 \(\text{Fourier}\) 级数的部分和

若 \(f(x)\) 是奇函数,那么有
- \[a_n=0 \quad n=0,1,2,\cdots\]
- \[b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin nx dx \quad n=1,2,\cdots\]
- 于是 \(f(x)\sim \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n\sin nx\)
  - 形如 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n\sin nx\) 的级数称为正弦级数
若 \(f(x)\) 是偶函数,那么有
- \[b_n=0 \quad n=1,2,\cdots\]
- \[a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos nx dx \quad n=0,1,2,\cdots\]
- 于是 \(f(x)\sim \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx\)
  - 形如 \(\frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx\) 的级数称为余弦级数

若 \(f(x)\) 是以 \(2T\) 为周期的函数,那么有
- \[f(x)\sim \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos \frac{\pi}{T}nx+b_n\sin \frac{\pi}{T}nx)\]
- \[a_n=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(x)\cos \frac{\pi}{T}nx dx \quad n=0,1,\cdots\]
- \[b_n=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(x)\sin \frac{\pi}{T}nx dx \quad n=1,2,\cdots\]

\[\frac{1}{2}+\sum\limits_{n=1}^m \cos n\theta = \frac{\sin \frac{2m+1}{2}\theta}{2\sin \frac{\theta}{2}}\]
\[\begin{align*} S_m(x) &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x+u)\frac{\sin \frac{2m+1}{2} u}{\sin\frac{u}{2}}du \\ &= \frac{1}{\pi}\int_0^\pi [f(x+u)+f(x-u)] \frac{\sin \frac{2m+1}{2} u}{\sin\frac{u}{2}}du \end{align*} \]
记 \(\varphi_\sigma(u,x)= f(x+u)+f(x-u) -2\sigma(x)\), 则 \(f(x)\) 的傅里叶级数收敛于 \(\sigma(x) \iff\) 极限
- \[\lim\limits_{m\to\infty} \int_0^\pi \varphi_\sigma(u,x) \frac{\sin \frac{2m+1}{2} u}{\sin\frac{u}{2}}du = 0\]

\(\psi(x)\) 是闭区间 \([a,b]\) 上可积或者绝对可积的函数,则有
- \[\lim\limits_{n\to\infty} \int_a^b \psi(x)\cos nx dx = \lim\limits_{n\to\infty} \int_a^b \psi(x)\sin nx dx = 0\]

可积或者绝对可积的函数 \(f(x)\) 在 \(x\) 处的傅里叶级数是否收敛只与 \(f(x)\) 在 \(x\) 的一个邻域内的性质有关
- \[\lim\limits_{m\to\infty} \int_{\delta}^\pi [f(x+u)+f(x-u)] \frac{\sin \frac{2m+1}{2} u}{\sin\frac{u}{2}}du = 0\]
这表明级数收敛与否只与 \(\int_0^\delta ...du\) 有关

设函数 \(\psi(x)\) 在闭区间 \([0,\delta]\) 上可积或者绝对可积,则有
- \[\lim\limits_{m\to\infty} \int_0^\delta \psi(u)\frac{\sin \frac{2m+1}{2} u}{\sin\frac{u}{2}}du = \lim\limits_{m\to\infty} \int_0^\delta \psi(u)\frac{\sin \frac{2m+1}{2} u}{u}du\]

\(\text{Dini}\) 条件
- \(\exists \delta>0,s.t. \frac{\varphi_\sigma (u,x)}{u}\) 在 \([0,\delta]\) 上可积或者绝对可积

设函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([-\pi,\pi]\) 上可积或者绝对可积,且满足下列两个条件之一,那么其在 \(x\) 处的傅里叶级数收敛到 \(\frac{f(x+)+f(x-)}{2}\)
- \(\text{Dirichlet-Jordan}\) 判别法
  - \(f\) 在 \(x\) 的某个邻域内是分段单调有界函数
- \(\text{Dini-Lipschitz}\) 判别法
  - \(f\) 在 \(x\) 处满足指数为 \(\alpha\in (0,1]\) 的 \(\text{Holder}\) 条件

设 \(x\) 是 \(f\) 的连续点或者第一类不连续点,若 \(\forall \delta >0,\exists L>0,\alpha\in (0,1],s.t.\)
- \[|f(x\pm u)-f(x\pm)|\leq Lu^\alpha,u\in(0,\delta)\]
- 则称 \(f\) 在 \(x\) 处满足指数为 \(\alpha\) 的 \(\text{Holder}\) 条件

设 \(\psi(x)\) 在 \([0,\delta]\) 上单调,则
- \[\lim\limits_{p\to\infty} \int_0^\delta \frac{\psi(u)-\psi(0+)u}{u}\sin pu du = 0\]
或者
- \[\lim\limits_{p\to\infty} \int_0^\delta \psi(u)\frac{\sin pu}{u} du = \frac{\pi}{2}\psi(0+)\]

若函数 \(f\) 在 \([-\pi,\pi]\) 上可积或者绝对可积,且在点 \(x\) 处的单侧导数存在,或者
- \[\lim\limits_{h\to 0+}\frac{f(x\pm h)-f(x\pm)}{h}\]
- 存在,则 \(f\) 的傅里叶极速在 \(x\) 处收敛到 \(\frac{f(x+)+f(x-)}{2}\)

[!NOTE] 若收敛.第一类不连续点处的傅里叶级数收敛到它左右极限的算数平均值

设 \(f(x)\) 在 \([-\pi,\pi]\) 上可积或者绝对可积,则其傅里叶系数满足
- \[\lim\limits_{n\to\infty} a_n = \lim\limits_{n\to\infty} b_n = 0\]

设 \(f(x)\) 在 \([-\pi,\pi]\) 上可积或者绝对可积,则有
- \[\int_c^xf(t)dt = \int_c^x\frac{a_0}{2}dt + \sum\limits_{n=1}^{\infty}\int_c^x\left( a_n\cos nt+b_n\sin nt \right)dt\]

[!NOTE] 只要 \(f(x)\sim \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\),哪怕这个级数并不表示 \(f(x)\) 甚至根本不收敛,它的逐项积分也能收敛到 \(f(x)\) 的积分

\(\frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\) 是某个 \([-\pi,\pi]\) 上可积或者绝对可积函数的傅里叶级数的必要条件是级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{b_n}{n}\) 收敛