含参变量积分¶

含参变量常义积分¶

含参变量常义积分的定义¶

\(f\in C([a, b]\times [c, d]), J(x)=\int_{c}^{d}f(x, t)dt, x\in [a, b]\) 称为含参变量常义积分

含参变量常义积分的分析性质¶

设 \(f\in C(D), D=[a, b]\times [c, d]\)

定理 15.1.1 连续性定理¶

\(I(y)=\int_{a}^{b}f(x, y)dx \in C([c, d]), y\in [c, d]\)

[!NOTE] 在上述条件下:\(\lim\limits_{y\to y_0}I(y)=I(y_0)\), 也就是积分和极限运算可交换

定理 15.1.2 积分次序交换定理¶

\(\int_{a}^{b}dx\int_{c}^{d}f(x, y)dy=\int_{c}^{d}dy\int_{a}^{b}f(x, y)dx\)

定理 15.1.3 积分号下求导定理¶

若 \(f, f_y\in C(D)\), 则 \(I(y)=\int_{a}^{b}f(x, y)dx\) 在 \([c, d]\) 上可导, 且
- \[I'(y)=\int_{a}^{b}f_y(x, y)dx\]

定理 15.1.4¶

\(f, f_y\in C(D), a(y), b(y)\in C([c, d])\), 且 \(a\leq a(y)\leq b, a\leq b(y)\leq b\), 则
- \[F(y) = \int_{a(y)}^{b(y)}f(x, y)dx\]
  - 在 \([c, d]\) 上可导, 且
- \[F'(y)=f(b(y), y)b'(y)-f(a(y), y)a'(y)+\int_{a(y)}^{b(y)}f_y(x, y)dx\]

含参变量的反常积分¶

含参变量反常积分的一致收敛¶

无穷区间上的含参变量反常积分和无界函数的含参变量反常积分
\(f\in C(D), D = [a, +\infty)\times [c, d], y_0\in [c, d], \text{若}, \int_{a}^{+\infty}f(x, y_0)dx\) 收敛, 则称 \(y_0\) 是含参变量反常积分 \(\int_{a}^{+\infty}f(x, y_0)dx\) 的收敛点, 收敛点全体称为其收敛域

定义 15.2.1¶

若 \(\forall y\in [c, d], J(y)=\int_a^{+\infty} f(x, y)dx\) 存在, 并且 \(\forall \varepsilon>0, \exists A_0>0, s.t.\forall A>A_0, \forall y\in [c, d]:\)
- \[\left|\int_{a}^{A}f(x, y)dx-J(y)\right|<\varepsilon\]
  - 即
- \[\left|\int_A^{+\infty}f(x, y)dx\right| <\varepsilon\]
  - 则称 \(\int_a^{+\infty}f(x, y)dx\) 在 \([c, d]\) 上一致收敛

定义 15.2.1'¶

设 \(f\) 以 \(b\) 为奇点, 若 \(J(y)=\int_{a}^{b}f(x, y)dx\) 存在, 并且 \(\forall \varepsilon>0, \exists \eta>0, s.t.\forall y\in [c, d]:\)
- \[\left|\int_{a}^{b-\eta}f(x, y)dx-J(y)\right|<\varepsilon\]
  - 即
- \[\left|\int_{b-\eta}^{b}f(x, y)dx\right| <\varepsilon\]
  - 则称 \(\int_{a}^{b}f(x, y)dx\) 在 \([c, d]\) 上一致收敛

[!NOTE] 继续沿用一致收敛和收敛的符号, 即

\(\int_a^{+\infty}f(x, y)dx\) 收敛到 \(J(y), y\in [c, d]\) 表示为 \(\int_a^{+\infty}f(x, y)dx \overset{[c, d]}{\to} J(y)\)

\(\int_a^{+\infty}f(x, y)dx\) 在 \([c, d]\) 上一致收敛表示为 \(\int_a^{+\infty}f(x, y)dx \overset{[c, d]}{\Rightarrow} J(y)\)

一致收敛判别法¶

定理 15.2.1 \(\text{Cauchy} \text{收敛原理}\)¶

含参变量反常积分 \(\int_a^{+\infty}f(x, y)dx\) 一致收敛 \(\iff \forall \varepsilon>0, \exists A_0>0, s.t.\forall A_1, A_2>A_0:\)
- \[\left|\int_{A_1}^{A_2}f(x, y)dx\right|<\varepsilon, \forall y\in [c, d]\]

推论 15.2.1¶

若 \(\exists\varepsilon_0>0, s.t.\forall A_0>0, \exists A_1, A_2>A_0, \exists y_0\in [c, d], s.t.\)
- \[\left|\int_{A_1}^{A_2}f(x, y_0)dx\right|\geq \varepsilon_0\]
  - 则 \(\int_a^{+\infty}f(x, y)dx\) 在 \([c, d]\) 上不一致收敛

定理 15.2.2 \(\text{Weierstrass} \text{判别法}\)¶

若 \(\exists F(x), s.t.:\)
- \(|f(x, y)|\leq F(x), \forall x\in [a, +\infty), \forall y\in [c, d]\)
- \(\int_a^{+\infty}F(x)dx\) 收敛
  - 则 \(\int_a^{+\infty}f(x, y)dx\) 在 \([c, d]\) 上一致收敛

定理 15.2.3 \(\text{Abel-Dirichlet} \text{判别法}\)¶

满足以下条件之一时, \(\int_a^{+\infty}f(x, y)g(x, y)dx\) 在 \([c, d]\) 上一致收敛
- \(\text{Abel}:\)
  - \(\int_{a}^{+\infty} f(x, y) dx\) 关于 \(y\in [c, d]\) 一致收敛
  - \(g(x, y)\) 关于 \(x\) 单调, 即任取 \(y_0\in [c, d], g(x, y_0)\) 是 \([a, +\infty)\) 上的单调函数
  - \(g(x, y)\) 一致有界, 即 \(\exists M>0, s.t.:\)
    - \(|g(x, y)|\leq M, \forall x\in [a, +\infty), \forall y\in [c, d]\)
-
- \(\text{Dirichlet}:\)
  - \(\int_{a}^{+\infty} f(x, y) dx\) 一致有界, 即 \(\exists M>0, s.t.:\)
    - \(|\int_a^{A}f(x, y)dx|\leq M, \forall \forall, A\in (a, +\infty), y\in [c, d]\)
  - \(g(x, y)\) 关于 \(x\) 单调, 即任取 \(y_0\in [c, d], g(x, y_0)\) 是 \([a, +\infty)\) 上的单调函数
  - \(g(x, y)\) 一致趋于零, 即 \(\forall \varepsilon>0, \exists A_0>0, s.t.:\)
    - \(|g(x, y)|<\varepsilon, \forall x\in [A_0, +\infty), \forall y\in [c, d]\)

[!TIP] 都是指一致性

单调有界, 和收敛(Abel)

单调趋于零, 和有界(Dirichlet)

定理 15.2.4 \(\text{Dini}\) 定理¶

设 \(f(x, y)\in C(D), D=[a, +\infty)\times [c, d]\), 且保持定号, 若含参变量积分
- \[\int_a^{+\infty}f(x, y)dx\]
- 在 \([c, d]\) 上连续, 那么 \(\int_a^{+\infty}f(x, y)dx\) 在 \([c, d]\) 上一致收敛

[!NOTE] 只要知道了积分的连续性, 就可以推出一致收敛(\(f\) 定号)

一致收敛的分析性质¶

设 \(\int_a^{+\infty} f(x, y)dx\) 对每个 \(y\in [c, d]\) 收敛, 从而定义函数 \(J(y)=\int_a^{+\infty} f(x, y)dx, y\in [c, d]\), 任取单调增的数列 \(\{a_n\}, s.t.a_0=a, a_n\to +\infty\) 置
- \[u_n(y)=\int_{a_{n-1}}^{a_n}f(x, y)dx\]
  - 那么
- \[J(y)=\int_a^{+\infty}f(x, y)dx=\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(y)\]

引理 15.2.1¶

\(\int_a^{+\infty}f(x, y)dx \text{一致收敛} \iff \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(y)\) 在 \([c, d]\) 上一致收敛

定理 15.2.5 连续性定理¶

设 \(f\in C(D), D=[a, +\infty)\times [c, d]\), 且 \(\int_a^{+\infty}f(x, y)dx\) 在 \([c, d]\) 上一致收敛, 则 \(J(y)=\int_a^{+\infty}f(x, y)dx\) 在 \([c, d]\) 上连续
- 即有\(\lim\limits_{y\to y_0} \int_a^{+\infty}f(x, y)dx=\int_a^{+\infty}f(x, y_0)dx\)
- 即积分和极限运算可交换

定理 15.2.6 积分次序交换定理¶

设 \(f\in C(D), D=[a, +\infty)\times [c, d]\), 且 \(\int_a^{+\infty}f(x, y)dx\) 在 \([c, d]\) 上一致收敛, 则
- \(\int_a^{+\infty}dx\int_c^d f(x, y)dy=\int_c^d dy\int_a^{+\infty}f(x, y)dx\)

[!NOTE] 当 \(d=+\infty\) 时, 不再有上面的结论, 但是有

定理 15.2.6'¶

\(f\in C([a, +\infty)\times [c, +\infty))\) 且 \(\int_a^{+\infty}f(x, y)dx\) 在 \([c, C]\) 上一致收敛(\(C\in (c, +\infty)\)), \(\int_c^{+\infty} f(x, y)dy\) 关于 \(x\) 在 \([a, A]\) 上一致收敛.进一步假设 \(\int_a^{+\infty}dx \int_c^{+\infty}|f(x, y)|dy, \int_c^{+\infty}dy\int_a^{+\infty}|f(x, y)|dx\) 中有一个存在, 那么
- \[\int_a^{+\infty}dx\int_c^{+\infty}f(x, y)dy=\int_c^{+\infty}dy\int_a^{+\infty}f(x, y)dx\]

定理 15.2.7 积分号下求导定理¶

设 \(f, f_y\in C(D), D=[a, +\infty)\times [c, d]\), 且 \(\int_a^{+\infty}f(x, y)dx\) 在 \([c, d]\) 上收敛, \(\int_a^{+\infty}f_y(x, y)dx\) 关于 \(y\in [c, d]\) 一致收敛, 则 \(J(y)=\int_a^{+\infty}f(x, y)dx\) 在 \([c, d]\) 上可导, 且
- \[J'(y)=\int_a^{+\infty}f_y(x, y)dx\]
  - 即
- \[\frac{d}{dy}\int_a^{+\infty}f(x, y)dx=\int_a^{+\infty}f_y(x, y)dx\]
  - 即积分和导数运算可交换

\(\text{Euler}\) 积分¶

\(\text{Beta}\) 函数¶

\(B(p, q)=\int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt\) 称为 \(\text{Beta}\) 函数, 或者第一类 \(\text{Euler}\) 积分
- 定义域: \(p>0, q>0\)
- 连续性: \(B(p, q)\in C(p>0, q>0)\)
- 对称性: \(B(p, q)=B(q, p)\)
- 递推公式: \(B(p, q)=\frac{p-1}{p+q-1}B(p-1, q)=\frac{q-1}{p+q-1}B(p, q-1)\)
- 其他表示
  - 令 \(x=\cos^2\varphi\), 则
    - \[B(p, q)=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2p-1}\varphi\sin^{2q-1}\varphi d\varphi\]
    - 得到 \(B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})=\frac{\pi}{2}\)
  - 令 \(t=\frac{1}{1+x}\), 则
    - \[B(p, q)=\int_0^{+\infty}\frac{t^{p-1}}{(1+t)^{p+q}}dt\]
    - \[B(p, q)=\int_0^1\frac{t^{p-1}+t^{q-1}}{(1+t)^{p+q}}dt\]

\(\text{Gamma}\) 函数¶

\(\Gamma(p)=\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-t}dx\) 称为 \(\text{Gamma}\) 函数, 或者第二类 \(\text{Euler}\) 积分
- 定义域: \(p>0\)
- 连续可导性: \(\Gamma(p)\in C(p>0)\), 且 \(\Gamma^{(n)}(p)=\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}(\ln x)^n dx\)
- 递推公式: \(\Gamma(p+1)=p\Gamma(p)\)
- 其他表示
  - 令 \(x=t^2\), 则
    - \[\Gamma(p)=2\int_0^{+\infty}t^{2p-1}e^{-t^2}dt\]
    - 得到 \(\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\)
  - 令 \(x=\alpha t\), 则
    - \[\Gamma(p)=\alpha^p\int_0^{+\infty}t^{p-1}e^{-\alpha t}dt\]
  - \(\Gamma(n)=(n-1)!\)
  - \(\Gamma(p)\Gamma(1-p)=\frac{\pi}{\sin \pi p}\)

\(\text{Beta}\) 函数和 \(\text{Gamma}\) 函数的关系¶

定理 15.3.1¶

\[B(p, q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)} \quad p, q>0\]

定理 15.3.2 \(\text{Legendre}\) 公式¶

\[\Gamma(s)\Gamma(s+\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2s-1}}\Gamma(2s) \quad s>0\]

定理 15.3.3 余元公式¶

\[\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin \pi s} \quad 0<s<1\]

定理 15.3.4 \(\text{Stirling}\) 公式¶

\[\Gamma(s+1) = \sqrt{2\pi s}\left(\frac{s}{e}\right)^se^{\frac{\theta}{12s}} \quad s>0\]
- \(\theta\in (0, 1)\)