曲线积分, 曲面积分和场论¶
第一类曲线积分与第一类曲面积分¶
定义 14.1.1¶
- 类比对区间的划分, 对曲线 \(L\) 做划分, 任取分点之间点 \((\xi_i, \eta_i, \gamma_i)\), 分点之间弧长记为 \(\Delta s_i\), 且 \(\lambda = \max \Delta s_i\), 若和式
-
\[\sum f(\xi_i, \eta_i, \gamma_i)\Delta s_i\]
- 若其极限存在, 且与划分无关, 则其为函数 \(f(x, y, z)\) 在曲线 \(L\) 上的第一类曲线积分, 记为
-
\[\int_L f(x, y, z)ds \text{ 或 } \int_L f(P)ds \]
- 即
-
\[\int_L f(P)ds = \lim_{\lambda \to 0} \sum f(\xi_i, \eta_i, \gamma_i)\Delta s_i\]
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第一类曲线积分的性质¶
-
线性性: \(\int_L [f(P)+g(P)]ds = \int_L f(P)ds + \int_L g(P)ds\)
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路径可加性: 若曲线 \(L\) 由曲线 \(L_1\) 和曲线 \(L_2\) 组成, 则
-
\[\int_L f(P)ds = \int_{L_1} f(P)ds + \int_{L_2} f(P)ds\]
-
[!NOTE] 若曲线方程为 \(L: \begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \end{cases}, t\in [\alpha, \beta]\), 则
曲线弧长 : \(s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}dt\)
定理 14.1.1¶
- 设 \(L\) 是光滑曲线, \(f\in C(L)\), 则
-
\[\int_L f(P)ds = \int_{\alpha}^{\beta} f(x(t), y(t), z(t))\sqrt{x(t)'^2+y(t)'^2+z(t)'^2}dt\]
-
曲面面积¶
- 设光滑曲面 \(\Sigma\) : \(r(u, v) = x(u, v)\vec{i}+y(u, v)\vec{j}+z(u, v)\vec{k}, (u, v)\in D\)
- 在点 \(P(x, y)\) 处, 其切面由向量 \(\vec{r_u} = \frac{\partial r}{\partial u}, \vec{r_v} = \frac{\partial r}{\partial v}\) 张成
- 面积微元为
-
\[dS = |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|dudv\]
-
- 于是曲面的面积
-
\[S = \iint_{\Sigma}dS = \iint_{D}|\vec{r_u} \times \vec{r_v}|dudv\]
-
定理 14.1.2¶
- 曲面 \(\Sigma\) 的面积
-
\[S = \iint_D \sqrt{EG-F^2}dudv\]
- 其中 \(E = |\vec{r_u}|^2, F = \vec{r_u} \cdot \vec{r_v}, G = |\vec{r_v}|^2\), 称为曲面的 \(\text{Gauss}\) 系数
-
[!NOTE] \(E = x_u^2+y_u^2+z_u^2, F = x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v, G = x_v^2+y_v^2+z_v^2\)
\(\vec{r_u} \times \vec{r_v} = \frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}\vec{i} + \frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}\vec{j} + \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\vec{k}\)
\(\Sigma: z=f(x, y), (x, y)\in D\implies S = \iint_D \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}dxdy\)
\(\Sigma: H(x, y, z) = 0\), 若\(H_z|_\Sigma \neq 0\), 则 \(\exists z = f(x, y)\), 从而由 \(f_x = -\frac{H_x}{H_z}, f_y = -\frac{H_y}{H_z}\), 可得
\[S = \iint_D \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}dxdy = \iint_D \frac{\sqrt{H_x^2+H_y^2+H_z^2}}{|H_z|}dxdy=\int_D \frac{||\text{grad} H||}{|H_z|}dxdy\]
第一类曲面积分¶
定义 14.1.2¶
-
\(\iint_\Sigma f(x, y, z)dS = \lim\limits_{\lambda \to 0} \sum f(\xi_i, \eta_i, \gamma_i)\Delta S_i\)
- \(f\) 称为被积函数, \(\Sigma\) 称为积分曲面
-
若 \(\Sigma: \begin{cases} x=x(u, v) \\ y=y(u, v) \\ z=z(u, v) \end{cases}, (u, v)\in D\), 则
-
\[\iint_\Sigma f(x, y, z)dS = \iint_D f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))\sqrt{EG-F^2}dudv\]
-
-
若 \(\Sigma: z=f(x, y), (x, y)\in D\), 则
-
\[\iint_\Sigma f(x, y, z)dS = \iint_D f(x, y, f(x, y))\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}dxdy\]
-
[!TIP] 计算曲线(曲面)积分之前, 先把对应的参数方程写出来(\(r(t), r(u, v), (u, v)\in D\)), 再套公式
第二类曲线积分与第二类曲面积分¶
第二类曲线积分¶
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计算质点在力 \(F(x, y, z) = P(x, y, z)\vec{i}+Q(x, y, z)\vec{j}+R(x, y, z)\vec{k}\) 作用下沿曲线 \(L\) 运动所做的功
-
\(\vec{\tau} = \cos\alpha_i\vec{i}+\cos\alpha_j\vec{j}+\cos\alpha_k\vec{k}\)为切向量
-
则 \(dW = \vec{F} \cdot \vec{\tau}ds = Pdx+Qdy+Rdz\)
-
定义 14.2.1¶
- 设 \(L\) 为以 \(A\) 为起点, \(B\) 为终点的光滑曲线, \(f(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))\) 是定义在 \(L\) 上的向量值函数, \(\vec\tau = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)\) 为与 \(L\) 定向一致的切向量, 那么 称
-
\[\int_L f(x, y, z)\cdot \vec{\tau} ds = \int_L [P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma]ds\]
- 为 \(f(x, y, z)\) 在曲线 \(L\) 上的第二类曲线积分
-
- 注意到取 \(L\) 的弧长微元 \(ds = \sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}\), 从而有 \(\cos\alpha ds = dx, \cos\beta ds = dy, \cos\gamma ds = dz\) 于是上式可写为
-
\[\int_L f(x, y, z)\cdot \vec{\tau} ds = \int_L Pdx+Qdy+Rdz\]
-
性质¶
-
方向性: \(\int_{-L} f(x, y, z)\cdot \vec{\tau} ds = -\int_{-L} f(x, y, z)\cdot \vec{\tau} ds\) 其中 \(-L\) 是 \(L\) 反向得到的曲线
-
线性性: \(\int_L [\alpha f+\beta g]\cdot \vec{\tau} ds = \alpha \int_L f\cdot \vec{\tau} ds + \beta \int_L g\cdot \vec{\tau} ds\)
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路径可加性: 若曲线 \(L\) 由曲线 \(L_1\) 和曲线 \(L_2\) 组成, 则
-
\[\int_L f\cdot \vec{\tau} ds = \int_{L_1} f\cdot \vec{\tau} ds + \int_{L_2} f\cdot \vec{\tau} ds\]
-
计算方法¶
- 若 \(L:r(t) = x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}+z(t)\vec{k}, t\in [\alpha, \beta]\), 则
-
\[\int_L f\cdot \vec\tau ds = \int_\alpha^\beta [P(x(t), y(t), z(t))x'(t) + Q(x(t), y(t), z(t))y'(t) + R(x(t), y(t), z(t))z'(t)] dt \]
-
曲面的侧¶
定义 14.2.2¶
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光滑曲面上任意一点的法向量随着其与曲面交点沿着不越过边界的闭曲线运动并最终回到原点时, 法向量的指向不变.那么就称这个曲面是双侧曲面
-
\(\vec{n}=(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)\)
-
\(\Sigma:r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))\) 上任意一点的法向量表示为 \(\pm\vec{r_u} \times \vec{r_v}\)
- 那么单位法向量 \(\vec{n} = \pm\frac{\vec{r_u} \times \vec{r_v}}{|\vec{r_u} \times \vec{r_v}|}=\pm\frac{1}{\sqrt{{EG-F^2}}} (\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}, \frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}, \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)})\)
-
\(\Sigma: z=f(x, y), (x, y)\in D\) 的单位法向量为 \(\vec{n} = \pm\frac{1}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}(-f_x, -f_y, 1)\)
- 若取正号, 则取了和 \(z\) 轴夹角为锐角的法向量
-
第二类曲面积分¶
- 若流体流速为 \(\vec{v} = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))\), 则流体通过曲面 \(\Sigma\) 的流量为
-
\[\iint_\Sigma \vec{v}\cdot \vec{n}dS = \iint_\Sigma [P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma]dS\]
- 其中 \(\vec{n} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)\) 为 \(\Sigma\) 的单位法向量
-
定义 14.2.3¶
- 设 \(\Sigma\) 为定向光滑曲面, \(f(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))\) 是定义在 \(\Sigma\) 上的向量值函数, \(\vec{n} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)\) 为与 \(\Sigma\) 定向一致的单位法向量, 那么 称
-
\[\iint_\Sigma f(x, y, z)\cdot \vec{n} dS = \iint_\Sigma [P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma]dS\]
- 为 \(f(x, y, z)\) 在曲面 \(\Sigma\) 上的第二类曲面积分
-
性质¶
-
方向性: \(\iint_{-\Sigma} f(x, y, z)\cdot \vec{n} dS = -\iint_{\Sigma} f(x, y, z)\cdot \vec{n} dS\) 其中 \(-\Sigma\) 是 \(\Sigma\) 反向得到的曲面
-
线性性: \(\iint_\Sigma [\alpha f+\beta g]\cdot \vec{n} dS = \alpha \iint_\Sigma f\cdot \vec{n} dS + \beta \iint_\Sigma g\cdot \vec{n} dS\)
-
曲面可加性: 若曲面 \(\Sigma\) 由曲面 \(\Sigma_1\) 和曲面 \(\Sigma_2\) 组成, 则
-
\[\iint_\Sigma f\cdot \vec{n} dS = \iint_{\Sigma_1} f\cdot \vec{n} dS + \iint_{\Sigma_2} f\cdot \vec{n} dS\]
-
计算方法¶
- \(\vec{n}\) 取值与曲面的定向相同, 如果与 \(z\) 轴夹角为锐角, 则取正号, 否则取负号
- \(dx\wedge dy = |\cos\gamma| dS\), 由于夹角是锐角 \(\iff \cos\gamma > 0\), 所以 \(dx \wedge dy = \cos\gamma dS\)
- 于是上面的积分表示为
-
\[\begin{align*}\iint_\Sigma f\cdot \vec{n} dS &= \iint_D P(x, y, z)dy \wedge dz + Q(x, y, z)dz \wedge dx + R(x, y, z)dx \wedge dy \\ &= \iint_D [P(x, y, z)\cos\alpha+Q(x, y, z)\cos\beta +R(x, y, z)\cos\gamma]dS \\ &=\iint_D \left[P\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)} + Q\frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)} + R\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right] dudv\end{align*}\]
-
\(\text{Green}\) 公式, \(\text{Gauss}\) 公式和 \(\text{Stokes}\) 公式¶
\(\text{Green}\) 公式¶
- \(\text{Jordan}\) 曲线: 不自交的闭曲线
- 单连通区域:任意封闭曲线可以不经过区域外部而连续的收缩到其中一点
- \(D\) 的诱导定向: 沿着 \(\partial D\) 移动, \(D\) 总是在左边
定理 14.3.1 \(\text{Green}\) 公式¶
-
设 \(D\) 是平面上由光滑或者分段光滑的简单闭曲线围成的单连通闭区域, 如果函数 \(P, Q\) 在 \(D\) 上有连续偏导数, 那么
-
\[\oint_{\partial D} Pdx+Qdy = \iint_D (Q_x-P_y)dxdy\]
- 其中 \(\partial D\) 取正向
-
-
\[\iint_D (\frac{\partial F}{\partial x}+ \frac{\partial G}{\partial y})dxdy = \oint_{\partial D} [F\cos(\vec{n}, x)+G\cos(\vec{n}, y)]ds\]
- \(S_D = \int_{\partial D} xdy = -\int_{\partial D} ydx=\frac{1}{2} \oint_{\partial D} (xdy-ydx)\)
积分曲面和路径无关的条件¶
定义 14.3.1¶
- 设 \(D\subset R^2, P, Q\in C(D)\), 若 \(\forall A, B\in D\), 积分值
-
\[\int_L Pdx+Qdy\]
- 只与 \(A, B\) 有关, 而与路径 \(L\) 无关, 则称曲线积分 \(\int_L Pdx+Qdy\) 是路径无关的
-
定理 14.3.2 \(\text{Green}\) 定理¶
-
设 \(D\) 是平面上的单连通区域, \(P, Q\) 在 \(D\) 上有连续偏导数, 则下列命题等价
-
对 \(D\) 中任何光滑(分段光滑)的闭曲线 \(L\):
-
\[\int_L Pdx+Qdy = 0\]
-
-
曲线积分 \(\int_L Pdx+Qdy\) 是路径无关的
-
存在 \(D\) 上的可微函数 \(U(x, y)\), 使得
-
\[dU = Pdx+Qdy\]
-
-
在 \(D\) 中成立等式
-
\[Q_x = P_y\]
-
-
定理 14.3.3¶
- 曲线积分 \(\int_L Pdx+Qdy\) 是路径无关的当且仅当存在 \(D\) 上的可微函数 \(U(x, y)\), 使得
-
\[dU = Pdx+Qdy\]
- 而且成立
-
\[\int_{L_{AB}} Pdx+Qdy = U(B)-U(A)\]
- 其中 \(L_{AB}\) 是 \(D\) 中连接 \(A, B\) 的任意曲线
-
\(\text{Gauss}\) 公式¶
定理 14.3.4 \(\text{Gauss}\) 公式¶
- 设 \(\Omega\) 是 \(R^3\) 上由光滑(分片光滑)的封闭曲面围成的二维单连通闭区域, 如果函数 \(P, Q, R\) 在 \(\Omega\) 上有连续的偏导数, 则成立
-
\[\iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz = \iint_{\partial \Omega} Pdydz+Qdzdx+Rdxdy\]
- 其中 \(\partial \Omega\) 取外侧(称为 \(\Omega\) 的诱导定向)
-
[!NOTE] \(\Omega\) 的体积可表示为 \(V_\Omega = \iiint_\Omega dxdydz=\iint_{\partial \Omega} xdydz = \iint_{\partial \Omega} ydzdx = \iint_{\partial \Omega}z dxdy = \frac{1}{3}\iint_{\partial \Omega}(xdydz+ydzdx+zdxdy)\)
\(\text{Stokes}\) 公式¶
定理 14.3.5 \(\text{Stokes}\) 公式¶
- 设 \(\Sigma\) 是光滑曲面, 其边界 \(\partial \Sigma\) 是光滑闭曲线, 若函数 \(P, Q, R\) 在 \(\Sigma, \partial{\Sigma}\) 上有连续偏导数, 那么
-
\[\begin{align*} \int_{\partial \Sigma} Pdx+Qdy+Rdz &= \iint_{\Sigma}\left( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} \right)dydz + \left( \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial z} \right)dzdx + \left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy \\ &= \iint_{\Sigma} \left[\left( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \cos\alpha + \left( \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial z} \right)\cos\beta+ \left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)\cos\gamma \right]dS \end{align*}\]
- 其中 \(\partial \Sigma\) 取诱导定向
-
[!NOTE] 上式可记为
\[\int_{\partial \Sigma} Pdx+Qdy+Rdz = \iint_{\Sigma} \begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} = \iint_{\Sigma} \begin{vmatrix} \cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} dS\]