重积分¶
有界闭区域上的重积分¶
面积¶
- 面积: 对区域 \(D\) 做划分, 对包含在 \(D\) 内的小矩形和与 \(D\) 交不空的小矩形的面积求和, 若两者极限相等, 则 \(D\) 的面积存在
定理 13.1.1¶
- 有界点集是可求面积的当且仅当其边界的面积为零
[!NOTE] 平面上光滑曲线段的面积是0, 从而一个有界闭区域如果边界是光滑曲线, 则其是可求面积的
二重积分¶
定义 13.1.1¶
-
设 \(D\) 为 \(\mathbf{R}^2\) 上的零边界闭区域, 函数 \(z=f(x, y)\) 在 \(D\) 上有界. 将 \(D\) 用曲线网分成 \(n\) 个小区域 \(\Delta D_1, \Delta D_2, \cdots, \Delta D_n\) (1)(它称为 \(D\) 的一个划分), 并记所有的小区域 \(\Delta D_i\) 的最大直径为 \(\lambda\), 即
-
\[\lambda=\max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left\{\operatorname{diam} \Delta D_i\right\} .\]
-
在每个 \(\Delta D_i\) 上任取一点 \(\left(\xi_i, \eta_i\right)\), 记 \(\Delta \sigma_i\) 为 \(\Delta D_i\) 的面积, 若 \(\lambda\) 趋于零时, 和式
-
\[\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta \sigma_i\]
-
-
的极限存在且与区域的分法和点 \(\left(\xi_i, \eta_i\right)\) 的取法无关, 则称 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上可积, 并称此极限为 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上的二重积分, 记为
-
\[\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma \quad\left(=\lim _{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta \sigma_i\right) .\]
- \(f(x, y)\) 称为被积函数, \(D\) 称为积分区域, \(x\) 和 \(y\) 称为积分变量, \(\mathrm{d} \sigma\) 称为面积元素, \(\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma\) 也称为积分值.
-
[!NOTE] 记 \(M_i, m_i\) 分别为 \(f(x, y)\) 在 \(\Delta D_i\) 上的上下确界, 记 \(S = \sum_{i=1}^n M_i \Delta \sigma_i, s = \sum_{i=1}^n m_i \Delta \sigma_i\), 则有 \(s \leq \iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma \leq S\), 称为 \(Darboux\) 大(小) 和
性质 1: 任意添加新的划分, 大和不增, 小和不减
性质 2:任意小和不大于任意大和
性质 3: 若 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上有界, 则 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上可积的充要条件是 \(S-s\to 0\)
定理 13.1.2¶
- 若 \(f\) 在零边界区域 \(D\) 上连续, 则 \(f\) 在 \(D\) 上可积
多重积分¶
定义 13.1.3¶
-
设 \(\Omega\) 为 \(\mathbf{R}^n\) 上的零边界闭区域, 函数 \(u=f({x})\) 在 \(\Omega\) 上有界. 将 \(\Omega\) 用曲面网分成 \(n\) 个小区域 \(\Delta \Omega_1, \Delta \Omega_2, \cdots, \Delta \Omega_n\) (1) (称为 \(\Omega\) 的一个划分), 记 \(\Delta V_i\) 为 \(\Delta \Omega_i\) 的体积, 并记所有的小区域 \(\Delta \Omega_i\) 的最大直径为 \(\lambda\). 在每个 \(\Delta \Omega_i\) 上任取一点 \(x_i\), 若 \(\lambda\) 趋于零时, 和式
-
\[\sum_{i=1}^n f\left({x}_i\right) \Delta V_i\]
- 的极限存在且与区域的分法和点 \({x}_i\) 的取法无关, 则称 \(f({x})\) 在 \(\Omega\) 上可积, 并称此极限为 \(f(x)\) 在有界闭区域 \(\Omega\) 上的 \(n\) 重积分, 记为
-
\[\int_{\Omega} f \mathrm{~d} V = \lim\limits_{x \to 0} \left(\sum\limits_{i=1}^n f\left(x_i\right) \Delta V_i\right)\]
-
\(f(x)\) 称为被积函数, \(\Omega\) 称为积分区域, \(x\) 称为积分变量, \(\mathrm{d} V\) 称为体积元素, \(\int_{\Omega} f \mathrm{~d} V\) 也称为积分值.
-
重积分的性质与计算¶
重积分的性质¶
性质¶
-
线性性
- \(\int_{\Omega} \left(\alpha f({x})+\beta g({x})\right) \mathrm{d} V=\alpha \int_{\Omega} f({x}) \mathrm{d} V+\beta \int_{\Omega} g({x}) \mathrm{d} V\)
-
区域可加性(可积时)
- \(\Omega_1 \cap \Omega_2=\emptyset\), 则 \(\int_{\Omega} f({x}) \mathrm{d} V=\int_{\Omega_1} f({x}) \mathrm{d} V+\int_{\Omega_2} f({x}) \mathrm{d} V\)
-
二重积分 \(S_D = \iint_D dxdy\), 三重积分 \(V_{\Omega} = \iiint_{\Omega} dxdydz\)
-
保序性
- 若 \(f({x}) \leq g({x})\), 则 \(\int_{\Omega} f({x}) \mathrm{d} V \leq \int_{\Omega} g({x}) \mathrm{d} V\)
-
\(m\leq f \leq M, x\in \Omega \implies mV(\Omega) \leq \int_{\Omega} f({x}) \mathrm{d} V \leq MV(\Omega)\)
-
绝对可积性
- \(f\) 可积 \(\implies |f|\) 可积, 且 \(\left|\int_{\Omega} f({x}) \mathrm{d} V\right| \leq \int_{\Omega}\left|f({x})\right| \mathrm{d} V\)
-
乘积可积性
- 若 \(f({x}), g({x})\) 在 \(\Omega\) 上可积, 则 \(f({x}) g({x})\) 在 \(\Omega\) 上可积
-
积分中值定理
- 设 \(f, g\) 可积, 且 \(g\) 在 \(\Omega\) 上不变号, 设 \(m = \inf_{\Omega} f({x}), M = \sup_{\Omega} f({x})\), 则 \(\exists \mu \in [m, M], s.t.\)
-
\[\int_{\Omega} f({x}) g({x}) \mathrm{d} V=\mu \int_{\Omega} g({x}) \mathrm{d} V\]
-
- 特别的, 若 \(f\) 在 \(\Omega\) 上连续, 则 \(\exists \xi \in \Omega, s.t.\)
-
\[\int_{\Omega} f({x})g({x}) \mathrm{d} V=f(\xi) \int_{\Omega} g({x}) \mathrm{d} V\]
-
- 设 \(f, g\) 可积, 且 \(g\) 在 \(\Omega\) 上不变号, 设 \(m = \inf_{\Omega} f({x}), M = \sup_{\Omega} f({x})\), 则 \(\exists \mu \in [m, M], s.t.\)
矩形区域上的重积分计算¶
定理 13.2.1¶
- 设 \(f(x, y)\) 在矩形区域 \(D: a \leq x \leq b, c \leq y \leq d\) 上可积(连续就行了), 若积分
- \(h(x)=\int_{c}^{d} f(x, y) \mathrm{d} y\) 对每个 \(x \in[a, b]\) 都存在, 则 \(h\) 在 \([a, b]\) 上可积, 且
-
\[\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y=\int_{a}^{b} h(x) \mathrm{d} x\]
定理 13.2.2¶
- 上述定理可以推广到 \(n\) 重积分
推论 13.2.1¶
- 设 \(f\in C[a_i, b_i]^n\), 则
-
\[\int_{[a_i, b_i]^n} f(x_1, \cdots, x_n) \mathrm{d} x_1 \cdots \mathrm{d} x_n=\int_{a_1}^{b_1} \mathrm{d} x_1 \int_{a_2}^{b_2} \cdots \int_{a_n}^{b_n} f(x_1, \cdots, x_n) \mathrm{d} x_n\]
-
一般区域上的重积分计算¶
[!NOTE] 关键是找到合适的积分路径
重积分的变量代换¶
二重积分的变量代换¶
定理 13.3.1 二重积分变量代换¶
-
\[\iint_{T(D)} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y=\iint_{D} f\left(x(u, v), y(u, v)\right)\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right| \mathrm{d} u \mathrm{d} v\]
-
\[\iint_{D}\left| \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right| \mathrm{d} u \mathrm{d} v= \iint_{T(D)} \mathrm{d} x \mathrm{d} y=m(T(D))\]
变量代换公式的证明¶
- 略过
n 重积分的变量代换¶
定理 13.3.2 n 重积分变量代换¶
-
\[\int_{T(\Omega)} f({y}) \mathrm{d} {y}=\int_{\Omega} f({x})\left|\frac{\partial(y_1, \cdots, y_n)}{\partial(x_1, \cdots, x_n)}\right| \mathrm{d} {x}\]
反常重积分¶
无界区域上的重积分¶
-
设 \(D\) 是 \(R^2\) 上无界区域, \(\Gamma\) 是面积为 \(0\) 的曲线. 记 \(D_\Gamma\) 为 \(D\) 被曲线 \(\Gamma\) 割出的有界区域
- \(d(\Gamma) = \inf\limits_{(x, y)\in \Gamma} \{\sqrt{x^2+y^2}\)
定义 13.4.1¶
- 若 \(d(\Gamma)\) 趋于无穷时, 极限 \(\lim\limits_{d(\Gamma)\to \infty} \iint_{D_\Gamma} f(x, y) dxdy\) 存在, 则称 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上可积, 并记
-
\[\iint_{D} f(x, y) dxdy = \lim_{d(\Gamma)\to \infty} \iint_{D_\Gamma} f(x, y) dxdy\]
- 称这个极限值为 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上的反常二重积分, 否则称 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上不可积
-
引理 13.4.1¶
- \(\{\Gamma_n\}\) 是一列曲线, 若它们割出的区域 \(D_{\Gamma_n}\) 满足
- \(D_1 \subset D_2 \subset \cdots \subset D_n \subset \cdots\), \(\lim\limits_{n\to \infty} d(\Gamma_n) = \infty\) 则反常积分收敛的充要条件是
- 数列 \(\{\iint_{D_n} f(x, y) dxdy\}\) 收敛, 并且收敛的时候成立
-
\[\iint_{D} f(x, y) dxdy = \lim_{n\to \infty} \iint_{D_n} f(x, y) dxdy\]
-
定理 13.4.1 比较判别法¶
-
若在 \(D\) 上成立 \(0\leq f(x, y) \leq g(x, y)\), 则
-
若 \(\iint_{D} g(x, y) dxdy\) 收敛, 则 \(\iint_{D} f(x, y) dxdy\) 收敛
-
若 \(\iint_{D} f(x, y) dxdy\) 发散, 则 \(\iint_{D} g(x, y) dxdy\) 发散
-
[!IMPORTANT] 在反常二重积分中, 可积和绝对可积是等价的
定理 13.4.2 绝对可积¶
- \(f\) 可积 \(\iff |f|\) 可积
推论 13.4.1 \(\text{Cauchy}\) 判别法¶
-
设 \(D = \{(r, \theta):a\leq r\leq +\infty, 0\leq \theta\leq 2\pi\}, r= \sqrt{x^2+y^2}\), 则
-
若在 \(D\) 上 \(\exists M > 0, s.t. |f(x, y)|\leq \frac{M}{r^p}\), 且 \(p>2\), 则 \(\iint_{D} f(x, y) dxdy\) 收敛
-
若在 \(D\) 上 \(\exists m>0, s.t. |f(x, y)|\geq \frac{m}{r^p}\), 且 \(p\leq 2\), 则 \(\iint_{D} f(x, y) dxdy\) 发散
-
定理 13.4.3¶
- 设 \(f\in C([a, +\infty)\times [c, +\infty))\), 且 \(\int_{a}^{+\infty} \mathrm{d} x \int_{c}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} y, \int_{a}^{+\infty} \mathrm{d} x \int_c^{+\infty} |f(x, y)| \mathrm{d} y\) 都存在, 那么 \(f\) 在 \(D\) 上可积, 并且
-
\[\iint_{D} f(x, y) dxdy = \int_{a}^{+\infty} \mathrm{d} x \int_{c}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} y\]
-
定理 13.4.4¶
- 变量代换公式依然成立
无界函数的反常积分¶
-
若函数 \(f\) 在除去点 \(P_0\) 外的部分上有定义并且在 \(P_0\) 的任意邻域上无界, 就称 \(P_0\) 是函数 \(f\) 的一个奇点
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设 \(\gamma\) 为包含 \(P_0\) 的面积为 \(0\) 的闭曲线. 记 \(D_\gamma\) 为 \(D\) 被曲线 \(\gamma\) 割出的有界区域
- \(d(D_\gamma) = \inf\limits_{P\in D_\gamma}|P-P_0|\)
定义 13.4.2¶
- 若极限 \(\lim\limits_{d(D_\gamma)\to 0} \iint_{D_\gamma} f(x, y) dxdy\) 存在, 则称 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上可积, 并记
- \(\(\iint_{D} f(x, y) dxdy = \lim_{d(D_\gamma)\to 0} \iint_{D_\gamma} f(x, y) dxdy\)\) 称这个极限值为 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上的反常二重积分, 否则称 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上不可积
微分形式¶
- 上课的时候略过了
有向面积和向量的外积¶
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给定向量 \(\vec{a} = (a_1, b_1), \vec{b} = (b_1, b_2)\), 其外积定义为
-
\[\vec{a}\wedge \vec{b} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1\]
-
-
有向面积: 以 \(\vec{a}, \vec{b}\) 为边的平行四边形的面积为 \(\vec{a}\wedge \vec{b}\)
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外积运算有一下性质
- 反对称性: \(\vec{a}\wedge \vec{b} = -\vec{b}\wedge \vec{a}\)
- 双线性性: \((\alpha \vec{a} + \beta \vec{b})\wedge \vec{c} = \alpha \vec{a}\wedge \vec{c} + \beta \vec{b}\wedge \vec{c}\)
微分形式¶
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\(dx\wedge dy = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} du \wedge dv\)
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一些形式化的定义和性质略过, 给出两个例子
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\(\mathrm{d} x \wedge \mathrm{d} y = \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} r \mathrm{d} r \wedge \mathrm{d} \theta\)
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\(\mathrm{d} y_1 \wedge \mathrm{d} y_2 \wedge \cdots \wedge \mathrm{d} y_n = \frac{\partial(y_1, y_2, \cdots, y_n)}{\partial(x_1, x_2, \cdots, x_n)} \mathrm{d} x_1 \wedge \mathrm{d} x_2 \wedge \cdots \wedge \mathrm{d} x_n\)
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