多元函数的微分学¶

偏导数与全微分¶

偏导数¶

定义 12.1.1¶

设 $D\underset{open}{\subset}R^2, z=f(x, y), (x, y)\in D$，若极限
- \[\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x, y_0)-f(x_0, y_0)}{\Delta x}\]
- 存在，则称函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处关于 $x$ 的可求偏导数，并记此极限为 $f$ 在 $(x_0, y_0)$ 处关于 $x$ 的偏导数, 记为
  - \[\frac{\partial z}{\partial x}{(x_0, y_0)}(\text{或} \frac{\partial f}{\partial x}{(x_0, y_0)}, f_x(x_0, y_0))\]

方向导数¶

[!NOTE] 偏导数是沿着坐标轴方向的导数, 给定任一方向, 如何求函数变化率?

定义 12.1.2¶

$D\underset{open}{\subset}R^2, z=f(x, y), (x, y)\in D$，点 $P_0(x_0, y_0)\in D$，向量 $\nu = (\cos\alpha, \sin\alpha)$, 若极限
- \[\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\cos\alpha, y_0+t\sin\alpha)-f(x_0, y_0)}{t}\]
- 存在，则称此极限为函数 $z=f(x, y)$ 在点 $P_0$ 处沿方向 $\nu$ 的方向导数，记为
  - \[\frac{\partial z}{\partial \nu}{(x_0, y_0)}\]

[!NOTE] 令 $e_1=(1, 0), e_2=(0, 1)$, 则 $f$ 关于 $x$ 可偏导的充要条件是 $f$ 在 $P_0$ 处沿 $e_1, -e_1$ 的方向导数存在且互为相反数

全微分¶

对函数 $z=f(x, y)$, 记它的全增量为
- \[\Delta z = f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)\]

定义 12.1.3¶

$D\underset{open}{\subset}R^2, z=f(x, y), (x, y)\in D, P_0(x_0, y_0)\in D$, 若存在只与 $P_0$ 有关的常数 $A, B, s.t.$
- \[\Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})\]
- 则称函数 $z=f(x, y)$ 在点 $P_0$ 处可微分，并称其线性主部 $A\Delta x + B\Delta y$ 为 $f$ 在 $P_0$ 处的全微分, 记为 $dz(x_0, y_0)$.

[!NOTE] 全微分公式: $dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$

定理 12.1.1¶

若 $f$ 在 $P_0$ 处可微, 则它的任意方向导数存在, 且有
- \[\frac{\partial z}{\partial \nu}{(x_0, y_0)} = \frac{\partial z}{\partial x}{(x_0, y_0)}\cos\alpha + \frac{\partial z}{\partial y}{(x_0, y_0)}\sin\alpha\]
  - 其中 $\nu = (\cos\alpha, \sin\alpha)$

定理 12.1.2¶

若函数在 $P_0$ 的某个邻域上有连续的偏导数, 则 $f$ 在 $P_0$ 处可微

梯度¶

定义 12.1.4¶

若函数 $f$ 在 $P_0$ 处可偏导.则称向量 $(\frac{\partial f}{\partial x}{(x_0, y_0)}, \frac{\partial f}{\partial y}{(x_0, y_0)})$ 为 $f$ 在 $P_0$ 处的梯度, 记为 $\text{grad} f(x_0, y_0)$, 即
- \[\text{grad}f(x_0, y_0) = f_x(x_0, y_0)\vec{i} + f_y(x_0, y_0)\vec{j}\]
进一步若 $f$ 在 $P_0$ 处可微, 那么方向导数有如下表达
- \[\frac{\partial f}{\partial \nu}=\text{grad}f \cdot \nu\]

[!NOTE] 梯度有如下性质

$f=c\in R\implies \text{grad}f=0$ $\text{grad}(\alpha f+\beta g) = \alpha\text{grad}f+\beta\text{grad}g$ $\text{grad}fg=f\text{grad}g+g\text{grad}f$ $\text{grad}\frac{f}{g} = \frac{g\text{grad}f-f\text{grad}g}{g^2}$

高阶偏导数¶

推广一下就行

定理 12.1.3¶

若$f_{xy}, f_{yx}\in C(\{P_0\})$, 即在 $P_0$ 处连续, 则 $f_{xy})(x_0, y_0)=f_{yx}(x_0, y_0)$

高阶微分¶

二元: $d^kz=(dx\frac{\partial}{\partial x}+dy\frac{\partial}{\partial y})^kz$
多元: $d^ku = (dx_1\frac{\partial}{\partial x_1}+dx_2\frac{\partial}{\partial x_2}+\cdots+dx_n\frac{\partial}{\partial x_n})^ku$

向量值函数的导数¶

称矩阵
- $$(\frac{\partial f_i}{\partial x_j})_{m\times n}=\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{x_1} & \frac{\partial f_1}{x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{x_n} \ \frac{\partial f_2}{x_1} & \frac{\partial f_2}{x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{x_n}\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \ \frac{\partial f_m}{x_1} & \frac{\partial f_m}{x_2} & \cdots & \frac{\partial f_m}{x_n} \end{pmatrix}
- 为向量值函数 $f$ 的 $Jacobi$ 矩阵

定理 12.1.4¶

向量值函数可微的充要条件是其各个分量可微

多元复合函数的求导法则¶

链式法则¶

定理 12.2.1 链式法则¶

设 $f$ 在 $(x_0, y_0)$ 可微, $x(u,, v), y(u, v)$ 可偏导, 那么
- \[\frac{dz}{du} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{du} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{du}\]
- \[\frac{dz}{dv} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dv} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dv}\]

[!NOTE] 这里 $f$ 可微不能减弱为可偏导

定理 12.2.2 链式法则推广¶

设 $y_i$ 在 $x_i$ 处可导, $f$ 在 $y_i(x_i)$ 处可微, 那么
- \[\frac{\partial f}{\partial x_i} = \sum\frac{\partial f}{\partial y_j}\frac{\partial y_j}{\partial x_i}\]

定理 12.2.3¶

对向量值函数有如下复合法则
- \[(\vec{f}\circ \vec{g})' = \vec{f}'\circ \vec{g}\cdot \vec{g}'\]
- 其中 $\vec{f}', \vec{g}'$ 为 $Jacobi$ 矩阵
举例
- \[\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial x}{\partial t} \\ \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial t} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial s} & \frac{\partial u}{\partial t} \\ \frac{\partial v}{\partial s} & \frac{\partial v}{\partial t} \end{pmatrix}\]

一阶微分形式不变性¶

无论$x, y$ 是自变量还是中间变量, 一阶微分有相同的形式

中值定理和泰勒公式¶

中值定理¶

定义 12.3.1 凸区域¶

设 $D\subset R^2$ 是区域, 若对 $D$ 中任意两点 $P_1, P_2$ 都有 $P_1P_2\subset D$, 则称 $D$ 为凸区域

定理 12.3.1 中值定理¶

设二元函数 $f(x, y)$ 在凸区域 $D\subset R^2$ 上可为, 则对 $D$ 中任意两点 $(x_0, y_0), (x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)$, 存在至少一个 $\theta\in (0, 1), s.t.$
- \[f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)=f_x(x_0+\theta\Delta x, y_0+\theta\Delta y)\Delta x+f_y(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)\Delta y\]

推论 12.3.1¶

若二元函数在区域上的偏导数恒为零, 则其为常值函数

定理 12.3.2¶

设 $n$ 元函数在凸区域 $D\subset R^n$ 上可微, 则对 $D$ 中任意两点 $P_1, P_2$, 存在至少一个 $\theta\in (0, 1), s.t.$
- \[f(P_2)-f(P_1)=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(P_1+\theta (P_2-P_1))\Delta \vec{x}_i\]

泰勒公式¶

定理 12.3.3¶

若 $f$ 在 $P_0$ 的邻域上有 $k+1$ 阶的连续偏导数, 那么对邻域中任何一点成立
- \[f(P_0+\Delta \vec{x}) = f(P_0)+\sum_{i=1}^k\frac{1}{i!}(\Delta x\frac{\partial}{\partial x}+\Delta y\frac{\partial}{\partial y})^i f(P_0) + R_k\]
- 其中 $R_k = \frac{1}{(k+1)!}(\Delta x\frac{\partial}{\partial x}+\Delta y\frac{\partial}{\partial y})^{k+1}f(P_0+\theta\Delta \vec{x})$

推论 12.3.2¶

$R_k = o((\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})^k)$

定理 12.3.4¶

对 $n$ 元函数
- \[f(P_0+\Delta \vec{x}) = f(P_0)+\sum_{i=1}^k\frac{1}{i!}(\Delta x_1\frac{\partial}{\partial x_1}+\cdots+\Delta x_n\frac{\partial}{\partial x_n})^i f(P_0) + R_k\]

隐函数¶

单个方程¶

定理 12.4.1 隐函数存在定理¶

若函数 $F(x, y)$ 满足
- $F(x_0, y_0)=0$
- 在闭矩形 $D = \{(x, y)||x-x_0|\leq a, |y-y_0|\leq b\}$ 上连续, 且有连续偏导数
- $F_y(x_0, y_0)\neq 0$

那么 - 在 $x_0$ 的某个邻域上存在唯一的函数 $y=f(x), x\in O(x_0, \rho)$, 使得 - $F(x, f(x))=0$ - $f\in C(O(x_0, \rho))$ - $f'=-\frac{F_x}{F_y}\in C(O(x_0, \rho))$

定理 12.4.2 隐函数存在定理推广¶

若函数 $F(x_1, x_2, \cdots, x_n, y)$ 满足
- $F(x_1^0, x_2^0, \cdots, x_n^0, y^0)=0$
- 在闭矩形 $D = \{(x_1, x_2, \cdots, x_n, y)||x_i-x_i^0|\leq a_i, |y-y^0|\leq b\}$ 上连续, 且有连续偏导数
- $F_y(x_1^0, x_2^0, \cdots, x_n, y^0)\neq 0$

那么 - 在 $(x_1^0, x_2^0, \cdots, x_n^0)$ 的某个邻域上存在唯一的函数 $y=f(x_1, x_2, \cdots, x_n), x_i\in O(x_i^0, \rho)$, 使得 - $F(x_1, x_2, \cdots, x_n, f(x_1, x_2, \cdots, x_n))=0$ - $f\in C(O(\vec{x_0}, \rho))$ - $f_i'=-\frac{F_{x_i}}{F_y}\in C(O(\vec{x_0}, \rho))$

多个方程¶

定理 12.4.3¶

若函数 $F(x, y, u, v), G(x, y, u, v)$ 满足
- $F\left(x_0, y_0, u_0, v_0\right)=0, G\left(x_0, y_0, u_0, v_0\right)=0$;
- 在闭长方体$D=\left\{(x, y, u, v)|| x-x_0|\leqslant a, | y-y_0|\leqslant b, | u-u_0|\leqslant c, | v-v_0 \mid \leqslant d\right\}$ 上, 函数 $F, G$ 连续, 且具有连续偏导数;
- 在 $\left(x_0, y_0, u_0, v_0\right)$ 点, 行列式$\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{ll}F_u & F_v\\G_u & G_v \end{array}\right| \neq 0$
那么
- 在点 $\left(x_0, y_0, u_0, v_0\right)$ 附近可以从函数方程组
  - $\(\left\{\begin{array}{l}F(x, y, u, v)=0 \\G(x, y, u, v)=0\end{array}\right.$\) 惟一确定向量值隐函数
  - \[\binom{u}{v}=\binom{f(x, y)}{g(x, y)}, \quad(x, y) \in O\left(\left(x_0, y_0\right), \rho\right), \]
- 它满足 $\left\{\begin{array}{l}F(x, y, f(x, y), g(x, y))=0, \\ G(x, y, f(x, y), g(x, y))=0, \end{array}\right.$ 以及 $u_0=f\left(x_0, y_0\right), v_0=g\left(x_0, y_0\right)$;
  - 这个向量值隐函数在 $O\left(\left(x_0, y_0\right), \rho\right)$ 上连续;
  - 这个向量值隐函数在 $O\left(\left(x_0, y_0\right), \rho\right)$ 上具有连续的导数, 且
    - \[\left(\begin{array}{ll}\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{ll}F_u & F_v \\G_u & G_v\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ll}F_x & F_y \\G_x & G_y\end{array}\right)\]

定理 12.4.4¶

多个函数时平行推广即可

逆映射定理¶

定理 12.4.5¶

\[\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\end{pmatrix}\]

定理 12.4.6¶

$D\underset{open}{\subset}R^2, f'\in C(D)\exists$ 若 $f$ 的 jacobi 行列式不等于零, 则$f$ 的像是开集

偏导数在几何中的应用¶

空间曲线的切线和法平面¶

空间曲线的参数方程 $\vec{r}(t)=(x(t), y(t), z(t))$

定义 12.5.1¶

若 $\vec{r}'(t) = x'(t)\vec{i}+y'(t)\vec{j}+z'(t)\vec{k}\in C[a, b]$, 且 $\vec{r}'(t)\neq \vec{0}$, 则称 $\vec{r}(t)$ 在 $[a, b]$ 上所确定的空间曲线是 光滑曲线

[!NOTE] 切向量 $\vec{r}'(t)=(x'(t), y'(t), z'(t))$ 与曲线的切线平行, $P_0$ 处的切线方程为

$\frac{x-x_0}{x'(t_0)}=\frac{y-y_0}{y'(t_0)}=\frac{z-z_0}{z'(t_0)}$

法平面方程为 $\vec{r}'(t_0)\cdot (\vec{x}-\vec{x_0})=0$

即: $x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0$

若曲线由平面的交确定, 即 $l:\begin{cases} F(x, y, z)=0\\G(x, y, z)=0\end{cases}$, 则曲线的切线向量可表示为
- $r'(P_0) = \frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}\vec{i}+\frac{\partial(F, G)}{\partial(z, x)}\vec{j}+\frac{\partial(F, G)}{\partial(x, y)}\vec{k}$
- 则切线方程和法平面方程容易写出

定理 12.5.1¶

$l:\begin{cases} F(x, y, z)=0\\G(x, y, z)=0\end{cases}$ 在 $P_0$ 处的法平面是 $\text{grad}F, \text{grad}G$ 张成的过 $P_0$ 的平面

曲面的切平面与法线¶

曲面的参数方程 $F(x, y, z)=0$
法向量 $\vec{n} = (F_x, F_y, F_z)$
切平面方程 $\vec{n}\cdot (\vec{x}-\vec{x_0})=0$ 即 $F_x(x-x_0)+F_y(y-y_0)+F_z(z-z_0)=0$
法线方程 $\frac{x-x_0}{F_x}=\frac{y-y_0}{F_y}=\frac{z-z_0}{F_z}$

[!NOTE] 若 $z=f(x, y)$ 则在 $P_0$ 点可以用切平面代替函数, 其误差是 $o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})$

若曲面参数方程以 $\vec{r}(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v))$ 形式给出, 则切平面方程为
- $\vec{n} = (\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}, \frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}, \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)})$
- 由此可以得到切平面和法线方程

无条件极值¶

定义 12.6.1¶

$D\underset{open}{\subset}R^n, \vec{x_0}\in D, D_f\subset D$, 若 $\exists \delta>0, s.t.\forall \vec{x}\in O(\vec{x_0}, \delta): f(\vec{x})\geq f(\vec{x_0})$
- 则称 $\vec{x_0}$ 为 $f$ 的 极大值点
同理可以定义 极小值点

定理 12.6.1 必要条件¶

若 $\vec{x_0}$ 为 $f$ 的极值点, 且 $f$ 在 $\vec{x_0}$ 处可偏导, 则 $f$ 的各个一阶偏导数值都为 $0$

[!NOTE] 使得 $f$ 的各个一阶偏导数值同时为 $0$ 的点称为 $f$ 的驻点

定理 12.6.2¶

设 $(x_0, y_0)$ 是 $f$ 的驻点, 且$f$ 在其附近有连续的二阶偏导数, 记
- $A=f_{xx}(x_0, y_0), B=f_{xy}(x_0, y_0), C=f_{yy}(x_0, y_0)$ 并记
- $H = \det\begin{pmatrix} A & B \\ B & C \end{pmatrix} = AC-B^2$ 那么
- 若 $H>0$ :
  - 若 $A>0$ 则 $(x_0, y_0)$ 为极小值点
  - 若 $A<0$ 则 $(x_0, y_0)$ 为极大值点
- 若 $H<0$ 则 $(x_0, y_0)$ 不是极值点

[!NOTE] 当 $H=0$ 时, 无法判断

[!NOTE] 对一般的 $n$ 元函数, 可以用 $Hessian$ 矩阵来判断

条件极值和 $Lagrange$ 乘数法¶

在约束 $\begin{cases} F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0 \end{cases}$ 下求函数 $f(x, y, z)$ 的极值
- 构造拉格朗日函数 $L(x, y, z, \lambda, \mu)=f(x, y, z)-\lambda F(x, y, z)-\mu G(x, y, z)$
  - 解方程组 $\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial L}{\partial y}=0 \\ \frac{\partial L}{\partial z}=0 \\ F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0 \end{cases}$
  - 在所有所得点中找出使 $f$ 取得极值的点

定理 12.7.1 条件极值的必要条件¶

若点 $\vec{x_0}=(x_1^0, x_2^0, \cdots, x_n^0)$ 为满足约束 $g_i=0, i=1, 2, \cdots, m$ 的条件极值点, 那么存在 $m$ 个常数 $\lambda_i, s.t.$
- $\text{grad} f = \sum\limits_{i=1}^m\lambda_i\text{grad} g_i$
于是推广$Lagrange$ 函数
- $L(\vec{x}, \lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_m)=f(\vec{x})-\sum\limits_{i=1}^m\lambda_i g_i(\vec{x})$

多元函数的微分学¶

偏导数与全微分¶

偏导数¶

定义 12.1.1¶

方向导数¶

定义 12.1.2¶

全微分¶

定义 12.1.3¶

定理 12.1.1¶

定理 12.1.2¶

梯度¶

定义 12.1.4¶

高阶偏导数¶

定理 12.1.3¶

高阶微分¶

向量值函数的导数¶

定理 12.1.4¶

多元复合函数的求导法则¶

链式法则¶

定理 12.2.1 链式法则¶

定理 12.2.2 链式法则推广¶

定理 12.2.3¶

一阶微分形式不变性¶

中值定理和泰勒公式¶

中值定理¶

定义 12.3.1 凸区域¶

定理 12.3.1 中值定理¶

推论 12.3.1¶

定理 12.3.2¶

泰勒公式¶

定理 12.3.3¶

推论 12.3.2¶

定理 12.3.4¶

隐函数¶

单个方程¶

定理 12.4.1 隐函数存在定理¶

定理 12.4.2 隐函数存在定理推广¶

多个方程¶

定理 12.4.3¶

定理 12.4.4¶

逆映射定理¶

定理 12.4.5¶

定理 12.4.6¶

偏导数在几何中的应用¶

空间曲线的切线和法平面¶

定义 12.5.1¶

定理 12.5.1¶

曲面的切平面与法线¶

无条件极值¶

无条件极值¶

定义 12.6.1¶

定理 12.6.1 必要条件¶

定理 12.6.2¶

条件极值和 \(Lagrange\) 乘数法¶

定理 12.7.1 条件极值的必要条件¶