$\text{Euclid}$ 空间上的极限和连续¶

$\text{Euclid}$ 空间上的距离与极限¶

定义 11.1.1¶

$\text{Euclid}$ 空间 $R^n$ 中任意两点 $\vec{x}, \vec{y}$ 之间的距离定义为
- \[|\vec{x}-\vec{y}| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}\]
  - 并称
- \[||\vec{x}|| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}\]
  - 为 $\vec{x}$ 的 $\text{Euclid}$ 范数 (模长)

定理 11.1.1¶

距离满足以下性质
- 正定性: $|\vec{x}-\vec{y}|\geq 0$, 且 $|\vec{x}-\vec{y}|=0\iff \vec{x}=\vec{y}$
- 对称性: $|\vec{x}-\vec{y}|=|\vec{y}-\vec{x}|$
- 三角不等式: $|\vec{x}-\vec{y}|+|\vec{y}-\vec{z}|\geq |\vec{x}-\vec{z}|$

定义 11.1.2 邻域¶

设 $\vec{a} = (a_1, a_2, \cdots, a_n)\in R^n, \delta >0, $, 则点集
- \[O(\vec{a}, \delta) = \{\vec{x}\in R^n:|\vec{x}-\vec{a}|<\delta\}\]
  - 称为点 $\vec{a}$ 的 $\delta$ 邻域

定义 11.1.3 极限¶

设 $\{\vec{x}_n\}$ 是 $R^n$ 中的一个点列, $\vec{a}\in R^n$, 如果对任意 $\varepsilon>0$, 存在 $N\in \mathbb{N}$, 使得当 $n>N$ 时, 有
- \[|\vec{x}_n-\vec{a}|<\varepsilon\]
  - 则称 $\vec{a}$ 是点列 $\{\vec{x}_n\}$ 的极限, 记为
- \[\lim_{n\to\infty}\vec{x}_n = \vec{a}\]
点列不收敛就称为发散

定理 11.1.2¶

$\lim\limits_{n\to\infty}\vec{x}_n = \vec{a} \iff \lim\limits_{n\to\infty}(x_k)_i=a_i$

定义 11.1.4¶

设 $S\subset R^n$, 若存在正数 $M$, 使得对任意 $\vec{x}\in S$ 有 $||\vec{x}||\leq M$, 则称 $S$ 为有界集

开集和闭集¶

对 $\vec{x}\in R^n, S\subset R^n$
- 若存在 $\delta>0$, 使得 $O(\vec{x}, \delta)\subset S$, 则称 $\vec{x}$ 为 $S$ 的内点
- 若存在 $\delta>0$, 使得 $O(\vec{x}, \delta)\cap S=\emptyset$, 则称 $\vec{x}$ 为 $S$ 的外点
若任意 $\vec{x}$ 的邻域都既包含 $S$ 中的点又包含 $S$ 外的点, 则称 $\vec{x}$ 为 $S$ 的边界点
- 若存在 $\vec{x}$ 的邻域 $O(\vec{x}, \delta)$ 使得 $O(\vec{x}, \delta)\cap S=\{\vec{x}\}$, 则称 $\vec{x}$ 是孤立点
- 若 $\vec{x}$ 的任何邻域都包含 $S$ 中无穷多个点, 则称 $\vec{x}$ 为聚点

定理 11.1.3¶

$\vec{x}$ 是 $S$ 聚点的充要条件是:存在 $S$ 中的点列, 收敛到 $\vec{x}$

定义 11.1.5¶

若 $S$ 中的点都是内点, 则称 $S$ 为开集
若 $S$ 包含了其所有聚点, 则称 $S$ 为闭集
- $S$ 和其聚点全体 $S'$ 的并集称为 $S$ 的闭包, 记为 $\bar{S}$

[!NOTE] 以后记 $S\underset{closed}{\subset}T$ 表示 $S$ 是 $T$ 的闭子集, $S\underset{open}{\subset}T$ 表示 $S$ 是 $T$ 的开子集

定理 11.1.4¶

$S\underset{closed}{\subset} R^n \iff S^c\underset{open}{\subset} R^n$

引理 11.1.1 $\text{De Morgan}$ 定律}¶

设 $\{S_\alpha\}$ 是 $R^n$ 的子集族, 则
- \[\left(\bigcup_{\alpha}S_\alpha\right)^c = \bigcap_{\alpha}S_\alpha^c\]
- \[\left(\bigcap_{\alpha}S_\alpha\right)^c = \bigcup_{\alpha}S_\alpha^c\]

定理 11.1.5¶

开集对的任意并和有限交封闭
闭集对的任意交和有限并封闭

$\text{Euclid}$ 空间上的基本定理¶

推广, 以 $n=2$ 为例

定理 11.1.6 闭矩形套定理¶

设 $\Delta_k = [a_k, b_k]\times [c_k, d_k]$ 是 $R^2$ 上的闭矩形, 如果
- \[\Delta_1\supset \Delta_2\supset \cdots \supset \Delta_k\supset \cdots\]
- $\(\lim_{k\to\infty}(b_k-a_k)=0, \lim_{k\to\infty}(d_k-c_k)=0$\) 则存在唯一一点 $\vec{a}=(\xi, \eta)$ 属于所有 $\Delta_k$ 且
- \[\lim_{k\to\infty}a_k=\lim_{k\to\infty}b_k=\xi\]
- \[\lim_{k\to\infty}c_k=\lim_{k\to\infty}d_k=\eta\]

定理 11.1.6 $\text{Cantor}$ 闭区域套定理¶

设 $\Delta_k$ 是 $R^n$ 上的闭区域, 如果
- \[\Delta_1\supset \Delta_2\supset \cdots \supset \Delta_k\supset \cdots\]
- $\(\lim_{k\to\infty}\text{diam}(\Delta_k)=0$\) 则存在唯一一点 $\vec{a}$ 属于所有 $\Delta_k$
- 这里 $\text{diam}(\Delta_k) = \sup\{|\vec{x}-\vec{y}|:\vec{x}, \vec{y}\in \Delta_k\}$

定理 11.1.7 $\text{Bolzano-Weierstrass}$ 定理¶

$R^n$ 上有界点列必有收敛子列

推论 11.1.1¶

$R^n$ 上有界无限点集必有聚点

定义 11.1.6 $\text{Cauchy}$ 列¶

设 $\{\vec{x}_n\}$ 是 $R^n$ 中的点列, 如果对任意 $\varepsilon>0$, 存在 $N\in \mathbb{N}$, 使得当 $n, m>N$ 时, 有
- $\(|\vec{x}_n-\vec{x}_m|<\varepsilon$\) 则称 $\{\vec{x}_n\}$ 是 $\text{Cauchy}$ 列

定理 11.1.8 $\text{Cauchy}$ 收敛原理¶

$R^n$ 中的点列 $\{\vec{x}_n\}$ 收敛的充要条件是 $\{\vec{x}_n\}$ 是 $\text{Cauchy}$ 列

紧集¶

定义 11.1.7¶

$S\subset R^n, U_\alpha\underset{open}{\subset} R^n, \alpha\in \Lambda, s.t.S\subset \bigcup_{\alpha}U_\Lambda$, 则称 $\{U_\alpha\}$ 为 $S$ 的开覆盖
若 $S$ 的任意开覆盖都有有限子覆盖, 则称 $S$ 为紧集

[!NOTE] $K$ 是 $S$ 中紧集记为 $K\underset{compact}{\subset}S$

定理 11.1.9 $\text{Heine-Borel}$ 定理¶

$R^n$ 上的点集 $S$ 是紧集当且仅当 $S$ 是有界闭集

定理 11.1.10¶

若 $S$ 是 $R^n$ 中的点集, 那么以下命题等价
- $S$ 是紧集
- $S$ 是有界闭集
- $S$ 的任意无限子集在 $S$ 中有聚点

多元连续函数¶

多元函数¶

[!NOTE] 以下都设 $D$ 是 $R^n$ 上的点集

定义 11.2.1¶

映射 $f:D\to R^1$ 称为 $D$ 上的多元函数
- 定义域, 值域, 陪域等同一元函数定义

多元函数的极限¶

定义 11.2.2¶

$D\underset{open}{\subset} R^n, \vec{x_0}\in D, f(x): D\setminus\{\vec{x}\}\to R^1$, 如果存在 $A\in R, s.t.\forall \varepsilon>0, \exists\delta>0, s.t.\forall \vec{x}\in O(\vec{x_0}, \delta):$
- \[|f(\vec{x})-A|<\varepsilon\]
- 则称 $\vec{x}$ 趋于 $\vec{x_0}$ 时 $f$ 收敛, 且称 $A$ 是 $f$ 当 $\vec{x}\to\vec{x_0}$ 时的 $n$ 重极限, 记为 $\lim\limits_{\vec{x}\to\vec{x_0}}f(\vec{x})=A$

[!NOTE] 为了方便.记 $P(\vec{x}), P_0(\vec{x_0})$ 为点的左标, 然后记 $\lim\limits_{\vec{x}\to\vec{x_0}}f(\vec{x})$ 为$\lim\limits_{P\to P_0} f(p)=f(p_0)$

累次极限¶

定义 11.2.3¶

$D\underset{open}{\subset} R^2, (x_0, y_0)\in D, z=f(x, y):D\setminus\{(x_0, y_0)\}\to R$, 若 $\forall y\neq y_0, \lim\limits_{x\to x_0}f(x, y)\exists$ 且 $\lim\limits_{y\to y_0}\lim\limits_{x\to x_0}f(x, y)\exists$, 那么称词极限值为函数在点 $(x_0, y_0)$ 先对 $x$ 再对 $y$ 的二次极限

[!NOTE] 同理可以定义先对 $y$ 再对 $x$ 的二次极限, 注意重极限和累次极限之间的存在性并没有任何关系

设 $f(x, y) = \begin{cases} (x^2+y^2)\sin(1/x)\cos(1/y) & x\neq 0, y\neq 0\\0 & otherwise \end{cases}$

重极限存在为0, 累次极限不存在

设 $f(x, y) = \begin{cases} y\sin(1/x) & x\neq 0, y\neq 0 \\ 0 & otherwise\end{cases}$

重极限存在为, 累次有一个不存在

[!IMPORTANT] 一个二次极限存在不代表另外一个二次极限也存在, 及时两者都存在也不一定相等(也就是不一定能交换求和次序), 但是当二重极限也存在的时候, 有结论

定理 11.2.1¶

若二重极限 $\lim\limits_{(x, y)\to(x_0, y_0)}f(x, y)=A$ 存在, 且当 $x\neq x_0$ 时, 存在极限 $\lim\limits_{y\to y_0} f(x, y)=\varphi(x)$, 那么 $f$ 先对 $y$ 后对 $x$ 的二次极限存在且与二重极限相等, 即
- \[\lim\limits_{x\to x_0}\lim\limits_{y\to y_0}f(x, y) =\lim\limits_{x\to x_o}\varphi(x)= \lim\limits_{(x, y)\to(x_0, y_0)}f(x, y)=A\]

[!NOTE] 这表明如果函数的两个二次极限都存在而且二重极限也存在, 那么三者相等, 也就是说, 此时极限之间可交换顺序

多元函数的连续性¶

定义 11.2.4¶

$D\underset{open}{\subset} R^n, f:D\to R^1, \vec{x_0}\in D$, 若 $\forall \varepsilon>0, \exists\delta>0, s.t.\forall \vec{x}\in O(\vec{x_0}, \delta):$
- $\(f(\vec{x})-f(\vec{x_0})<\varepsilon$\) 则称 $f$ 在 $\vec{x_0}$ 处连续
若 $f$ 在 $D$ 上的每一点都连续, 则称 $f$ 在 $D$ 上连续

向量值函数¶

定义 11.2.5¶

$D\subset R^n, \vec{f}:D\to R^m$, 称 $\vec{f}$ 为 $n$ 元 $m$ 维向量值函数

定义 11.2.2'¶

$D\underset{open}{\subset} R^n, \vec{x_0}\in D, \vec{f}:D\setminus\{\vec{x_0}\}\to R^m$, 如果存在 $\vec{A}\in R^m, s.t.\forall \varepsilon>0, \exists\delta>0, s.t.\forall \vec{x}\in O(\vec{x_0}, \delta):$
- $\(|\vec{f}(\vec{x})-\vec{A}|<\varepsilon$\) 则称 $\vec{x}$ 趋于 $\vec{x_0}$ 时 $\vec{f}$ 收敛, 记为
- \[\lim\limits_{\vec{x}\to\vec{x_0}}\vec{f}(\vec{x})=\vec{A}\]

定义 11.2.4'¶

$D\underset{open}{\subset} R^n, \vec{f}:D\to R^m, \vec{x_0}\in D$, 若 $\forall \varepsilon>0, \exists\delta>0, s.t.\forall \vec{x}\in O(\vec{x_0}, \delta):$
- $\(|\vec{f}(\vec{x})-\vec{f}(\vec{x_0})|<\varepsilon$\) 则称 $\vec{f}$ 在 $\vec{x_0}$ 处连续

定理 11.2.2¶

向量值函数在点 $\vec{x_0}$ 处连续的充要条件是其各个分量函数在 $\vec{x_0}$ 对应的分量处连续

#### 定理 11.2.3 - 连续向量值函数的复合还是连续的

连续函数的性质¶

紧集上的连续映射¶

设点集 $K\subset R^n, \vec{x_0}\in K, f:K\to R^m$ 为一向量值函数, 若 $\forall \varepsilon>0, \exists\delta>0, s.t.\forall \vec{x}\in O(\vec{x_0}, \delta)\cap K:$
- $\(|f(\vec{x})-f(\vec{x_0})|<\varepsilon$\) 则称 $f$ 在 $\vec{x_0}$ 处连续

定理 11.3.1¶

连续映射把紧集映为紧集

定理 11.3.2 有界性定理¶

设 $K\subset R^n$ 是紧集, $f:K\to R^m$ 是连续映射, 则 $f(K)$ 是有界集

定理 11.3.3 最值定理¶

设 $K\subset R^n$ 是紧集, $f$ 是连续映射, 则 $f$ 在 $K$ 上有最大值和最小值

定义 11.3.2 一致连续¶

设 $K$ 是 $R^n$ 中点集, $f:K\to R^m$, 为映射, 若 $\forall \varepsilon>0, \exists\delta>0, s.t.\forall \vec{x}, \vec{y}\in K, |\vec{x}-\vec{y}|<\delta:$
- $\(|f(\vec{x})-f(\vec{y})|<\varepsilon$\) 则称 $f$ 在 $K$ 上一致连续

定理 11.3.4 一致连续性定理¶

$K\underset{compact}{\subset} R^n, C(K)\ni f:K\to R^m \implies f$ 在 $K$ 上一致连续

连通集上的连续映射¶

定义 11.3.3¶

设 $S$ 是 $R^n$ 中的点集, 若连续映射 $\gamma:[0, 1]\to R^n$ 的像全部落在 $S$ 中, 则称 $\gamma$ 为 $S$ 中的道路, $\gamma(0), \gamma(1)$ 称为道路的起点和终点
若 $S$ 中任意两点都可以用一条道路连通, 则称 $S$ 为道路连通的, 或者称为连通集

定义 11.3.4¶

连通开集称为区域
区域的闭包称为闭区域

定理 11.3.5¶

连续映射把连通集映为连通集

推论 11.3.1¶

连续函数把连通紧集映射为闭区间(陪域是 $R$ 时)

定理 11.3.6 介值定理¶

连续函数在紧集上取到介于最大值和最小值之间的任意值(包括最大值和最小值)

\(\text{Euclid}\) 空间上的极限和连续¶

\(\text{Euclid}\) 空间上的距离与极限¶

定义 11.1.1¶

定理 11.1.1¶

定义 11.1.2 邻域¶

定义 11.1.3 极限¶

定理 11.1.2¶

定义 11.1.4¶

开集和闭集¶

定理 11.1.3¶

定义 11.1.5¶

定理 11.1.4¶

引理 11.1.1 \(\text{De Morgan}\) 定律}¶

定理 11.1.5¶

\(\text{Euclid}\) 空间上的基本定理¶

定理 11.1.6 闭矩形套定理¶

定理 11.1.6 \(\text{Cantor}\) 闭区域套定理¶

定理 11.1.7 \(\text{Bolzano-Weierstrass}\) 定理¶

推论 11.1.1¶

定义 11.1.6 \(\text{Cauchy}\) 列¶

定理 11.1.8 \(\text{Cauchy}\) 收敛原理¶

紧集¶

定义 11.1.7¶

定理 11.1.9 \(\text{Heine-Borel}\) 定理¶

定理 11.1.10¶

多元连续函数¶

多元函数¶

定义 11.2.1¶

多元函数的极限¶

定义 11.2.2¶

累次极限¶

定义 11.2.3¶

定理 11.2.1¶

多元函数的连续性¶

定义 11.2.4¶

向量值函数¶

定义 11.2.5¶

定义 11.2.2'¶

定义 11.2.4'¶

定理 11.2.2¶

连续函数的性质¶

紧集上的连续映射¶

定理 11.3.1¶

定理 11.3.2 有界性定理¶

定理 11.3.3 最值定理¶

定义 11.3.2 一致连续¶

定理 11.3.4 一致连续性定理¶

连通集上的连续映射¶

定义 11.3.3¶

定义 11.3.4¶

定理 11.3.5¶

推论 11.3.1¶

定理 11.3.6 介值定理¶