函数项级数¶

函数项级数的一致收敛性¶

点态收敛¶

设 $u_n(x)$ 是有公共定义域 $E$ 的函数列, 将这无穷个函数的和称为函数项级数
- \[\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)} = u_1(x) + u_2(x) + \cdots + u_n(x) + \cdots\]

定义 10.1.1¶

任取 $x_0\in E$, 若数项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x_0)}$ 收敛, 则称函数项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)}$ 在点 $x_0$ 收敛, 或者称 $x_0$ 是 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)}$ 的收敛点
函数项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)}$ 的收敛点全体称为其收敛域, 记为 $D$
则和函数在 $D$ 上定义 $S(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)}, x\in D$
- 称 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)}$ 在 $D$ 上 点态收敛 到 $S(x)$
部分和函数 $S_n(x) = \sum\limits_{i=1}^{n}{u_i(x)}, x\in E$
- \[\lim\limits_{n\to\infty} S_n(x) = S(x), x\in E\]

[!NOTE] 为了方便, 记 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)}$ 在 $D$ 上点态收敛到 $S(x)$ 为

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)}\overset{D}{\rightarrow} S(x)$ 或者 $S_n(x)\overset{D}{\rightarrow} S(x)$

函数项级数的基本问题¶

极限(求导, 积分)运算和无限求和运算的交换问题
- 仅满足点态收敛的函数项级数, 上述运算均不一定成立
连续的反例
- $S_n(x) = x^n, E= [0, 1], $ 则 $S(x)\in C[0, 1]$, 但是 $S(x) = \begin{cases} 0, & x\in [0, 1) \\ 1, & x=1 \end{cases}$ 显然在 $x=1$ 处不连续(更别说可导)
可导的反例
- $S_n(x) = \frac{\sin nx}{\sqrt{n}}, E =[0, \infty)$, 则 $S(x) = 0$, 从而 $S'(x) = 0$, 但是 $S_n'(x) = \sqrt{n}\cos nx$ 在 $x=0$ 处有 $S'_n(0)=\sqrt{n}\to \infty$
积分的反例
- $S_n(x) = \begin{cases} 1 & x\times n!\in \mathbb{Z} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}, E=[0, 1]$, 则对任意 $n$, $S_n(x)$ 只有有限个不连续点, 从而是 $\text{Riemann}$ 可积的.但是, 当 $x$ 是无理数的时候, $S_n(x)=0, \forall x\in E$, 从而 $S(x)=0, $ 当 $x$ 是有理数时, 总存在 $N$ 充分大, $s.t. \forall n\leq N, S_n(x) = 1$, 从而 $S (x)=1$, 这样 $S(x)$ 就是 $\text{Dirichlet}$ 函数, 从而是不可积的

函数项级数的一致收敛性¶

定义 10.1.2 一致收敛¶

$\forall \varepsilon>0, \exists N(\varepsilon)\in\mathbb{N}, s.t.\forall x\in D, \forall n\geq N(\varepsilon)$:
- \[|S(x) - S_n(x)|<\varepsilon\]
- 则称函数项级数 $\{S_n(x)\}$ 在 $D$ 上 一致收敛 到 $S(x)$, 记为 $S_n(x)\overset{D}{\Rightarrow} S(x)$
- 称对应的函数项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)}$ 在 $D$ 上 一致收敛 到 $S(x)$

推论 10.1.1¶

若函数项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)}$ 在 $D$ 上一致收敛, 则函数列 $\{u_n(x)\}$ 在 $D$ 上一致收敛于 $0$
- 一致收敛的必要条件

定义 10.1.3 内闭一致收敛¶

若 $\forall [a, b] \in D, S_n(x)\overset{[a, b]}{\Rightarrow} S(x)$, 则称 $\{S_n(x)\}(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)})$ 在 $D$ 上 内闭一致收敛 到 $S(x)$

定理 10.1.1¶

设 $S_n(x)\overset{D}{\rightarrow} S(x)$, 定义 $S_n(x), S(x)$ 之间的距离为
- \[d(S_n(x), S(x)) = \sup\limits_{x\in D}|S_n(x) - S(x)|\]
- 则 $S_n(x)\overset{D}{\Rightarrow}S(x) \iff \lim\limits_{n\to\infty}d(S_n, S)=0$

[!NOTE] 这使得我们可以令 $f(x, n) = S_n(x)-S(x)$, 对变量 $x$ 求函数最大值, 如果 $\lim\limits_{n\to\infty}\max\limits_{x\in D} f(x, n) = 0$ 则其一致收敛, 不然就不一致收敛

要如此应用定理10.1.1 必须要先知道 $S(x)$, 从而这适用于我们知道和函数并且去证明函数列 $\{S_n(x)\}$ 一致收敛收敛到和函数的情况

定理 10.1.2¶

设 $S_n(x)\overset{D}{\rightarrow} S(x)$, 则
$S_n(x)\overset{D}{\Rightarrow} S(x) \iff \forall \{x_n\}, x_n\in D: \lim\limits_{n\to\infty}(S_n(x_n)-S(x_n))=0$

[!NOTE] 这个定理常常用来判定某个点态收敛的函数序列是不一致收敛的，取一个特殊的数列带进去即可

一致收敛级数的判别与性质¶

定理 10.2.1 (函数项级数一致收敛的 $\text{Cauchy}$ 收敛原理)¶

函数项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)}$ 在 $D$ 上一致收敛 $\iff$
- $\forall \varepsilon>0, \exists N(\varepsilon)\in\mathbb{N}, s.t.\forall x\in D, \forall m>n\geq N(\varepsilon)$:
  - \[|u_{n+1}(x)+\cdots+u_m(x)| <\varepsilon\]
函数序列 $\{S_n(x)\}$ 在 $D$ 上一致收敛 $\iff$
- $\forall \varepsilon>0, \exists N(\varepsilon)\in\mathbb{N}, s.t.\forall x\in D, \forall m>n\geq N(\varepsilon)$:
  - \[|S_m(x)-S_n(x)| <\varepsilon\]

定理 10.2.2 $\text{Weierstrass}$ 判别法¶

若 $\forall n\in \mathbb{Z}, \forall x\in D, |u_n(x)|\leq a_n$, 且 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n}$ 收敛, 则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)}$ 在 $D$ 上一致收敛

[!NOTE] 注意这里的 $a_n$ 是一个正的

也就是找到一个收敛的正项级数去控制函数项级数的大小

例如，如果 $\sum a_n$ 是收敛的正项级数，那么 $\sum a_n\cos f(n, x)$ 是一致收敛的函数项级数

定理 10.2.3 $\text{Abel-Dirichlet}$ 判别法}¶

若函数项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x), x\in D$ 满足以下两个条件之一, 则其在 $D$ 上一致收敛
- $\text{Abel}$ 判别法: $\forall x_0\in D, $ 数列 $\{a_n(x_0)\}$ 单调, 且 $\{a_n(x_0)\}$ 一致有界
  - \[|a_n(x)|\leq M, \forall x\in D, \forall n\in \mathbb{N}\]
  - 且函数项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛
- $\text{Dirichlet}$ 判别法: $\forall x_0\in D, $ 数列 $\{a_n(x_0)\}$ 单调, 且 $\{a_n(x_0)\}$ 在 $D$ 上一致趋于 $0, (a_n(x)\to 0, \forall x\in D, n\to\infty)$; 同时函数项级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n(x)$ 的部分和序列在 $D$ 上一致有界:
  - \[|\sum\limits_{k=1}^n{b_k(x)}|\leq M, \forall x\in D, n\in \mathbb{N}\]

[!NOTE] 这里两个判别法都要求 $a_n(x)$ 是单调的，这是因为证明中用到了 $Abel$ 引理, 而 $Abel$ 引理要求一个数列是单调, 一个数列是有界的

一致收敛级数的性质¶

定理 10.2.4 连续性定理¶

若 $\forall n\in \mathbb{N}: S_n(x)\in C[a, b]$ 且 $S_n(x)\overset{[a, b]}{\Rightarrow} S(x)$, 则 $S(x)\in C[a, b]$

[!IMPORTANT] 在上述定理条件下 $\lim\limits_{x\to x_0}\lim\limits_{n\to\infty}S_n(x) = \lim\limits_{n\to\infty}\lim\limits_{x\to x_0}S_n(x)$, 即两个极限运算可交换顺序

定理 10.2.4'¶

设 $\forall n\in \mathbb{N}: u_n(x)\in C[a, b]$, 且 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)}\overset{D}\Rightarrow S(x)$, 则 $S(x)\in C[a, b], \forall x_0\in [a, b]$,
- \[\lim\limits_{x\to x_0} \sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)} = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\lim\limits_{x\to x_0}u_n(x)}\]
- 即极限运算和无限求和运算可交换顺序

[!NOTE] 上面定理条件可替换为在 $(a, b)$ 上内闭一致收敛

定理 10.2.5¶

设 $\forall n\in \mathbb{N}, S_n(x)\in C[a, b];\;S_n(x)\overset{[a, b]}{\Rightarrow} S(x)$, 则 $S(x)\in \mathscr{R}[a, b]$, 且
- \[\int_a^b S(x)dx = \lim\limits_{n\to\infty}\int_a^b S_n(x)dx\]

[!NOTE] 在上述定理条件下 $\lim\limits_{n\to\infty}\int_a^b S_n(x)dx = \int_a^b \lim\limits_{n\to\infty}S_n(x)dx$, 即积分和极限可交换顺序

定理 10.2.5' 逐项积分定理¶

设 $\forall n\in \mathbb{N}, u_n(x)\in C[a, b];\;\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)}\overset{D}{\Rightarrow} S(x)$, 则 $S(x)\in \mathscr{R}[a, b]$, 且
- \[\int_a^b S(x)dx =\int_a^b\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)dx = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\int_a^b u_n(x)dx\]
- 即积分运算和无限求和运算可交换顺序

[!NOTE] 在上述条件下可以得到函数列 $\{\int_{x_0}^xS_n(t)dt\}, (\sum\limits_{n=1}^{\infty}\int_{x_0}^x{u_n(t)dt})$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛到 $\int_{x_0}^xS(t)dt$

定理 10.2.6¶

设函数列 $\{S_n(x)\}$ 满足
- $\forall n\in \mathbb{N}, S'_n(x)\exists \text{且} S'(x)\in C[a, b]$
- $S_n(x)\overset{[a, b]}{\rightarrow} S(x)$
- $S'_n(x)\overset{[a, b]}{\Rightarrow} \sigma(x)$ 则 $S(x)$ 可导, 且
  - \[\frac{d}{dx}S(x) = \sigma(x)\]

[!NOTE] 在上述条件下 $\frac{d}{dx}\lim\limits_{n\to\infty}S_n(x) = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{d}{dx}S_n(x)$, 即导数运算和极限运算可交换顺序

定理 10.2.6' 逐项求导定理¶

设函数项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)}$ 满足
- $\forall n\in \mathbb{N}, u_n'(x)\exists \text{且} u_n'(x)\in C[a, b]$
- $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)}\overset{D}{\rightarrow} S(x)$
- $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n'(x)}\overset{D}{\Rightarrow} \sigma(x)$ 则 $S(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)}$ 可导, 且
  - \[\frac{d}{dx}\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)} = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n'(x)}\]
- 即导数运算和无限求和运算可交换顺序

[!NOTE] 根据定理 10.2.5 和定理 $10.2.5'^{\prime}$ 的注, 由 $\left\{S_n^{\prime}(x)\right\}\left(\right.$ 或 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^{\prime}(x)$ ) 在 $[a, b]$上一致收敛于 $\sigma(x)$ 出发, 可得到 $\left\{S_n(x)\right\}$ (或 $\left.\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)\right)$ 在 $[a, b]$ 上不仅点态收敛, 而且是一致收玫于 $S(x)$ 的结论.$\\$ 与连续性类似, 由于可导性也是函数的一种局部性质（可导也是逐点定义的), 因此, $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)\left(\right.$ 或 $\left.\left\{S_n(x)\right\}\right)$ 在开区间 $(a, b)$ 上收敛于 $S(x)$, 并且每个 $u_n(x)($ 或 $\left.S_n(x)\right)$ 在 $(a, b)$ 上有连续的导函数的前提下, 同样只要 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^{\prime}(x)$ (或 $\left.\left\{S_n^{\prime}(x)\right\}\right)$ 在 $(a$, $b)$ 上内闭一致收敛, 就足以保证 $S(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 上可导.

定理 10.2.7 $\text{Dini}$ 定理¶

设 $S_n(x)\overset{[a, b]}{\rightarrow} S(x)$, 若
- $S_n(x)\in C[a, b], \forall n\in \mathbb{N}$
- $S(x) \in C[a, b]$
- $\forall x\in [a, b], \{S_n(x)\}$ 单调
则 $S_n(x)\overset{[a, b]}{\Rightarrow} S(x)$

[!NOTE] 这里 $[a, b]$ 不能换成 $(a, b)$

定理 10.2.7' $\text{Dini}$ 定理¶

设 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)}\overset{[a, b]}{\rightarrow} S(x)$, 若
- $u_n(x)\in C[a, b], \forall n\in \mathbb{N}$
- $S(x) \in C[a, b]$
- $\forall x\in [a, b], \sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)}$ 是正项级数或者负项级数$[i.e. u_n(x)>0(<0)]$
则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)}\overset{[a, b]}{\Rightarrow} S(x)$

幂级数¶

即无限次多项式的和
- \[\sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_n(x-x_0)^n}\]
不妨取 $x_0=0$, 不然可以令 $t=x-x_0$

幂级数的收敛半径¶

令 $A = \limsup\sqrt[n]{|a_n|}$
\[R = \begin{cases} +\infty & A = 0 \\ \frac{1}{A} & 0<A<+\infty \\ 0 & A = +\infty \end{cases}\]
- $R$ 称为幂级数的收敛半径

[!NOTE] 这里实际上就是用了数项级数的 $\text{Cauchy}$ 判别法和函数项级数的 $\text{Weierstrass}$ 判别法, 只要

$r=\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{a_nx_n} < 1$, 就收敛

定理 10.3.1 $\text{Cauchy-Hadamard}$ 公式¶

幂级数在 $|x|<R$ 上 绝对收敛, 在 $|x|>R$ 上发散

定理 10.3.2 $\text{d'Alembert}$ 判别法¶

若有
- \[\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = A\]
- 则幂级数的收敛半径 $R = \frac{1}{A}$

幂级数性质¶

定理 $\text{Abel}$ 第一定理¶

若幂级数在 $x_0$ 处收敛, 则在 $|x|<|x_0|$ 上绝对收敛, 若在 $x_0$ 处发散, 则在 $|x|>|x_0|$ 上发散

[!NOTE] 这包含在 $\text{Cauchy-Hadamard}$ 公式中

定理 10.3.3 $\text{Abel}$ 第二定理¶

设幂级数收敛半径是 $R$
- 幂级数在 $(-R, R)$ 上内闭一致收敛
- 若幂级数在 $x=R$ 处收敛, 则它在任意闭区间 $[a, R]\subset (-R, R]$ 上一致收敛

[!IMPORTANT] 就是说幂级数在包含于其收敛域中的任意闭区间上一致收敛

定理 10.3.4 和函数连续性¶

设幂级数收敛半径为 $R$, 则其和函数在 $(-R, R)$ 上连续.进一步若幂级数在 $R(-R)$ 处收敛, 则其和函数还在 $x=R$ 处左(右)连续

[!NOTE] 幂级数在它的收敛域上连续

定理 10.3.5 逐项可积性¶

设 $a, b$ 是幂级数收敛域中的任意两点, 则
- \[\int_a^b\sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_nx^n}dx = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_n\int_a^b{x^n}dx}\]
- 特别的, 如果取 $a=0, b=x$, 则有
  - \[\int_0^x\sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_nt^n}dx = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}}\]
  - 且逐项积分所得的幂级数的收敛半径与原幂级数相同

[!NOTE] 逐项积分得到幂级数的收敛域可能扩大(端点上)

定理 10.3.6 逐项可导性质¶

\[\frac{d}{dx}\sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_nx^n} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{d}{dx}a_nx^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{na_nx^{n-1}}\]
且逐项求导所得的幂级数的收敛半径与原幂级数相同

[!NOTE] 逐项求导得到的幂级数的收敛域可能缩小(端点上)

函数的幂级数展开¶

$\text{Taylor}$ 级数与余项公式¶

设 $f$ 任意阶可导
称 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n}$ 为函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的 $\text{Taylor}$ 级数
余项 $r_n(x) = f(x) - \sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k}$
- 则 $f(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n}, x\in O(x_0, \rho)$ 成立的充要条件是 $\lim\limits_{n\to\infty} r_n(x) = 0, \forall x\in O(x_0, \rho)$
- 此时我们称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可展为幂级数
$r_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}, \xi\in (x_0, x)$ 称为 $\text{Lagrange}$ 余项

定理 10.4.1 余项积分形式¶

设 $f(x)$ 在 $O(x_0, \rho)$ 上任意阶可导, 则
- $\(f(x) = \sum\limits_{k=0}^n{\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k} + r_n(x)$\) 其中
- \[r_n(x) = \frac{1}{n!}\int_{x_0}^x{(x-t)^nf^{(n+1)}(t)dt}\]

[!NOTE] 对上面的 $r_n(x)$ 运用积分中值定理可以得到 $\text{Lagrange}$ 余项

也可以得到 $\text{Cauchy}$ 余项

\[r_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(x_0+\theta(x-x_0))}{n!}(1-\theta)^n(x-x_0)^{n+1}, \theta\in (0, 1), \theta\in [0, 1]\]

初等函数的 $\text{Taylor}$ 展开¶

$e^x = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$
- $r_n(x) = \frac{e^{\xi}}{(n+1)!}x^{n+1}, \xi\in (0, x)$
$\sin x = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}}=x - \frac{x^3}{3!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots$
- $r_{2n+2}(x) = \frac{x^{2n+3}}{(2n+3)!}\sin(\theta x+\frac{2n+3}{2}\pi), \theta\in (0, 1)$
$\cos x = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}}=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots$
$\arctan x = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}}=x-\frac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+\cdots$
- 求导有 $\frac{1}{1+x^2} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(-1)^nx^{2n}}=1-x^2+x^4-\cdots+(-1)^nx^{2n}+\cdots$
$\ln(1+x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}}=x-\frac{x^2}{2}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+\cdots$
- $r_n(x) = (-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}(1+\theta x)^{-n-1}, \theta\in (0, 1)$
- 求导有 $\frac{1}{1+x} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(-1)^nx^n}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^nx^n+\cdots$
$\frac{1}{1-x} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{x^n}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots$

函数项级数¶

函数项级数的一致收敛性¶

点态收敛¶

定义 10.1.1¶

函数项级数的基本问题¶

函数项级数的一致收敛性¶

定义 10.1.2 一致收敛¶

推论 10.1.1¶

定义 10.1.3 内闭一致收敛¶

定理 10.1.1¶

定理 10.1.2¶

一致收敛级数的判别与性质¶

定理 10.2.1 (函数项级数一致收敛的 \(\text{Cauchy}\) 收敛原理)¶

定理 10.2.2 \(\text{Weierstrass}\) 判别法¶

定理 10.2.3 \(\text{Abel-Dirichlet}\) 判别法}¶

一致收敛级数的性质¶

定理 10.2.4 连续性定理¶

定理 10.2.4'¶

定理 10.2.5¶

定理 10.2.5' 逐项积分定理¶

定理 10.2.6¶

定理 10.2.6' 逐项求导定理¶

定理 10.2.7 \(\text{Dini}\) 定理¶

定理 10.2.7' \(\text{Dini}\) 定理¶

幂级数¶

幂级数的收敛半径¶

定理 10.3.1 \(\text{Cauchy-Hadamard}\) 公式¶

定理 10.3.2 \(\text{d'Alembert}\) 判别法¶

幂级数性质¶

定理 \(\text{Abel}\) 第一定理¶

定理 10.3.3 \(\text{Abel}\) 第二定理¶

定理 10.3.4 和函数连续性¶

定理 10.3.5 逐项可积性¶

定理 10.3.6 逐项可导性质¶

函数的幂级数展开¶

\(\text{Taylor}\) 级数与余项公式¶

定理 10.4.1 余项积分形式¶

初等函数的 \(\text{Taylor}\) 展开¶