数项级数¶
数项级数的收敛性¶
数项级数¶
- 设 \(x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots\) 是无穷可列个数, 称它们的和
-
\[x_1+x_2+\cdots+x_n+\cdots\]
- 为无穷数项级数(简称级数), 记作\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\)), 其中\(x_n\)称为级数的通项
- 级数的部分和定义为\(S_n=x_1+x_2+\cdots+x_n\)
-
定义 9.1.1¶
- 如果部分和数列 \(\{S_n\}\) 收敛到有限数 \(S\), 则称级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\) 收敛, 且称它的和是 \(S\), 记作
-
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n=S\]
-
- 如果 \(\{S_n\}\) 发散, 则称级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\) 发散
[!NOTE] 调和级数(\(p\)级数) \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\), 当\(p>1\)时收敛, 当\(p\leq 1\)时发散
定义 9.1.2¶
- 当级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\) 收敛时, 可以构造齐余和数列 \(\{r_n\}\), 其中
-
\[r_n=S-S_n\]
- \(\{r_n\}\) 收敛到 \(0\)
-
级数基本性质¶
定理 9.1.1 (级数收敛的 必要条件 )¶
- 级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\) 收敛 \(\implies \{x_n\}\) 是无穷小量, 即
-
\[\lim_{n\to\infty}x_n=0\]
-
定理 9.1.2 (线性性)¶
- 设 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n = A, \sum\limits_{n=1}^{\infty}y_n = B, \alpha, \beta\) 是常数, 则
-
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\alpha x_n+\beta y_n)=\alpha A+\beta B\]
-
定理 9.1.3¶
-
若级数收敛, 则在它的求和表达式中任意添加括号后得到的级数仍然收敛, 且和不变
- 收敛级数满足加法结合律
- 反过来是不对的, 如 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\)
- 也就是发散的数列不满足加法结合律
上极限与下极限¶
数列的上极限与下极限¶
定义 9.2.1¶
-
在有界数列 \(\{x_n\}\) 中, 若存在它的一个子列 \(\{x_{n_k}\}\), 使得
- \(\(\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=\xi\)\) 则称 \(\xi\) 是数列 \(\{x_n\}\) 的一个极限点
-
也就是数列中有无穷多项在 \(\xi\) 的邻域内
-
就是说 \(\xi\) 是聚点(或称极限点)
-
记 \(E\) 为数列 \(\{x_n\}\) 的所有聚点的集合
-
定理 9.2.1¶
- \(E\) 的上下确界在 \(E\) 中, 即
-
\[H = \sup E = \max E\]
-
\[h = \inf E = \min E\]
-
定义 9.2.2¶
- \(E\) 的最大值 \(H=\max E\) 称为数列 \(\{x_n\}\) 的上极限, 记作
-
\[H = \varlimsup_{n\to\infty}x_n\]
-
- \(E\) 的最小值 \(h=\min E\) 称为数列 \(\{x_n\}\) 的下极限, 记作
-
\[h = \varliminf_{n\to\infty}x_n\]
-
定理 9.2.2¶
- 有界数列 \(\{x_n\}\) 收敛的充要条件是 \(\varlimsup\limits_{n\to\infty}x_n=\varliminf\limits_{n\to\infty}x_n\)
定义 9.2.1'¶
- 在定义 9.2.1 中, 把 \(\xi\) 的定义扩充为 \(-\infty\leq\xi\leq+\infty\)
定理 9.2.2'¶
- \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n\) 存在(有限或者无穷) \(\iff \varlimsup\limits_{n\to\infty}x_n=\varliminf\limits_{n\to\infty}x_n\)
定理 9.2.3¶
- 设 \(\{x_n\}\) 是有界数列, 则
- \(\varlimsup\limits_{n\to\infty}x_n=H\) 的充要条件是:\(\forall\varepsilon>0\)
- \(\exists N\in\mathbb{N}, s.t.\forall n>N\), 有 \(x_n<H+\varepsilon\)
- \(\{x_n\}\) 中有无穷多项满足: \(x_n>H-\varepsilon\)
- \(\varliminf\limits_{n\to\infty}x_n=h\) 的充要条件是:\(\forall\varepsilon>0\)
- \(\exists N\in\mathbb{N}, s.t.\forall n>N\), 有 \(x_n>h-\varepsilon\)
- \(\{x_n\}\) 中有无穷多项满足: \(x_n<h+\varepsilon\)
- \(\varlimsup\limits_{n\to\infty}x_n=H\) 的充要条件是:\(\forall\varepsilon>0\)
上极限和下极限的运算¶
定理 9.2.4¶
-
设 \(\{x_n\}, \{y_n\}\) 是两个数列, 则
-
\[\varlimsup_{n\to\infty}(x_n+y_n)\leq\varlimsup_{n\to\infty}x_n+\varlimsup_{n\to\infty}y_n\]
-
\[\varliminf_{n\to\infty}(x_n+y_n)\geq\varliminf_{n\to\infty}x_n+\varliminf_{n\to\infty}y_n\]
- 若 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n\) 存在, 则
-
\[\varlimsup_{n\to\infty}(x_n+y_n)= \lim_{n\to\infty}x_n+\varlimsup_{n\to\infty}y_n\]
-
\[\varliminf_{n\to\infty}(x_n+y_n)= \lim_{n\to\infty}x_n+\varliminf_{n\to\infty}y_n\]
-
-
-
要求上述式子右侧不是待定形, 即不为 \((+\infty)-(+\infty)\) 等
-
小于的例子:\(x_n=(-1)^n, y_n=(-1)^{n+1}\)
[!NOTE] 这里 \(x_n\) 极限存在是广义极限, 也就是说可以是无穷(但是依旧要满足右侧不是待定形, 比如在 \(x_n\) 上极限无穷的时候对 \(y_n\) 的上极限有要求)
定理 9.2.5¶
-
设 \(\{x_n\}, \{y_n\}\) 是两个数列, 则
- 若 \(x_n, y_n\geq 0\)
-
\[\varlimsup_{n\to\infty}(x_ny_n)\leq\varlimsup_{n\to\infty}x_n\cdot\varlimsup_{n\to\infty}y_n\]
-
\[\varliminf_{n\to\infty}(x_ny_n)\geq\varliminf_{n\to\infty}x_n\cdot\varliminf_{n\to\infty}y_n\]
-
-
若 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x\in (0, \infty)\), 则
-
\[\varlimsup_{n\to\infty}(x_ny_n)= \lim_{n\to\infty}x_n\cdot\varlimsup_{n\to\infty}y_n\]
-
\[\varliminf_{n\to\infty}(x_ny_n)= \lim_{n\to\infty}x_n\cdot\varliminf_{n\to\infty}y_n\]
-
-
要求上述式子右侧不是待定形, 即不为 \(0\times (\infty)\) 等
- 若 \(x_n, y_n\geq 0\)
-
小于的例子:\(x_n=\begin{cases} 1 & n =8k-7 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}, y_n=\sin(\frac{n\pi}{4})\)
[!NOTE] 这里 \(x_n\) 极限存在是有限的
[!IMPORTANT] 第一个结论要求 \(x_n, y_n\geq 0\), 如果 \(x_n\leq 0\), 那么考虑 \(-x_n\) 和 \(y_n\) 的情况, 再利用 \(\varlimsup (-x_n) = - \varlimsup (x_n)\)(有限的时候, 无穷的时候不等号也满足)
正项级数¶
正项级数¶
定义 9.3.1¶
- 若级数的每一项都是 非负数, 则称其为正项级数
[!NOTE] 只要求非负数, 不要求正数(虽然说是正项级数)
在考虑收敛性的时候, 只需要考虑充分大的 \(n\) 时的级数是正数即可
定理 9.3.1 (正项级数的收敛原理)¶
- 正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有上界
- 显然部分和数列是单调递增的, 根据单调有界定理, 单调有界数列必有极限
- 若部分和数列没有上界, 那么级数必发散到 \(+\infty\)
比较判别法¶
定理 9.3.2 (比较判别法)¶
- 设 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n, \sum\limits_{n=1}^{\infty}y_n\) 是两个正项级数, 若存在正常数 \(A\), 使得
-
\[x_n\leq Ay_n, \forall n\in\mathbb{N}\]
- 则
- 若 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}y_n\) 收敛, 则 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\) 收敛
- 若 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\) 发散, 则 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}y_n\) 发散
-
[!NOTE] 和往常一样, 这里考虑充分大的 \(n\) 以后 \(x_n\leq Ay_n\) 即可
定理 9.3.2' (比较判别法的极限形式)¶
- 设 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n, \sum\limits_{n=1}^{\infty}y_n\) 是两个正项级数, 若
-
\[\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=l\in (0, +\infty)\cup \{0, +\infty\} \]
- 则
- 若 \(0\leq l < +\infty\), 则 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}y_n\) 收敛 \(\implies \sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\) 收敛
- 若 \(0<l < +\infty\), 则 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}y_n\) 发散 \(\implies \sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\) 发散
- \(l\in (0, +\infty)\) 时, \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\) 与 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}y_n\) 同敛散
-
\(\text{Cauchy}\) 判别法与 \(\text{d'Alembert}\) 判别法¶
[!NOTE] 比较判别法需要找到另外的级数和原级数进行比较, 如何着眼于级数本身的性质来比较呢?
从等比数列收到启发, 研究极限情况下的比 \(\frac{x_{n+1}}{x_n}\) 或者是平均比 \(\sqrt[n]{x_n}=\sqrt[n]{\frac{x_1}{x_0}\times \cdots \frac{x_n}{x_{n-1}}}, x_0=1\), 和 \(1\) 做比较, 大致就能得到级数的收敛情况
定理 9.3.3 (\(\text{Cauchy}\) 判别法)¶
- 设 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\) 是正项级数, \(r = \varlimsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_n}\), 则
- 若 \(r<1\), 则 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\) 收敛
- 若 \(r>1\), 则 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\) 发散
- 若 \(r=1\), 判别法失效
定理 9.3.4 (\(\text{d'Alembert}\) 判别法)¶
- 设 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\) 是正项级数, 则
- \(\overline{r} = \varlimsup\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n} < 1\) 时, \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\) 收敛
- \(\underline{r} = \varliminf\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n} > 1\) 时, \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\) 发散
- \(\overline{r} \geq 1, \underline{r} \leq 1\) 时, 判别法失效
[!NOTE] 注意 \(\text{Cauchy}\) 判别法中的 \(r\) 就是上极限, 而 \(\text{d'Alembert}\) 判别法中的 \(\overline{r}, \underline{r}\) 分别是上下极限
引理 9.3.1¶
- 设 \(\{x_n\}\) 是正项数列, 则
-
\[\varliminf\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}\leq\varliminf\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_n} \leq \varlimsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_n} \leq \varlimsup\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}\]
-
[!NOTE] 可以看出若一个正项级数的敛散性如果可以用 \(\text{d'Alembert}\) 判别法判别出, 那么一定可以用 \(\text{Cauchy}\) 判别法判别
[!IMPORTANT] 本质上, \(\text{Cauchy}\) 判别法和 \(\text{d'Alembert}\) 判别法都是基于比较判别法(和几何级数 \(\sum q^n\))
\(\text{Raabe}\) 判别法¶
[!NOTE] 对 \(\lim\frac{x_{n+1}}{x_n} = 1\) 的情况(\(\text{Cauchy}\) 判别法和 \(\text{d'Alembert}\) 判别法失效, 注意因为 \(\text{d'Alembert}\) 判别法条件更弱, 因此如果其失效了那么 \(\text{Cauchy}\) 判别法必然失效)
定理 9.3.5 (\(\text{Raabe}\) 判别法)¶
- 设 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\) 是正项级数, \(r = \lim\limits_{n\to\infty}n(\frac{x_n}{x_{n+1}}-1)\), 则
- 若 \(r>1\), 则 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\) 收敛
- 若 \(r<1\), 则 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\) 发散
积分判别法¶
- 设 \(f(x)\) 在 \([a, \infty)\) 上定义, 并且 \(f(x)\geq 0\), 进一步假设 \(f(x)\) 在 \([a, A]\subset [a, \infty)\) 上 \(\text{Riemann}\) 可积, 取数列 \(\{a_n\}, s.t.a=a_1<a_2<\cdots<a_n<\cdots\), 令
-
\[u_n=\int_{a_n}^{a_{n+1}}f(x)dx\]
-
定理 9.3.6 (积分判别法)¶
- 反常积分 \(\int_{a}^{\infty}f(x)dx\) 与正项级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n\) 敛散性相同
-
\[\int_{a}^{\infty}f(x)dx = \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\int_{a_n}^{a_{n+1}}f(x)dx\]
- 特别的如果 \(f(x)\) 单调减少(单调增那肯定发散了), 取 \(a_n=n\), 则反常积分 \(\int_{1}^{\infty}f(x)dx\) 与正项级数 \(\sum\limits_{n=N}^{\infty}f(n), N=[a]+1\) 敛散性相同
-
[!NOTE] 利用积分判别法可以用反常积分的收敛性判断级数的收敛性, 反过来对某些难以判断收敛性的反常积分, 也可以用级数去判断(通常是利用积分上下限放缩, 取特殊的点)
任意项级数¶
任意项级数¶
定理 9.4.1 (级数的 \(\text{Cauchy}\) 收敛原理)¶
- 级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n\) 收敛的充要条件是: 对任意 \(\varepsilon>0\), 存在 \(N\in\mathbb{N}\), 使得
-
\[|x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots+x_{n+m}| = \left|\sum\limits_{k=n+1}^{m} x_k\right|<\varepsilon\]
- 对任意 \(m>n>N\) 成立
-
[!NOTE] 取 \(m=n+1\) 得到 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0\)
\(\text{Leibniz}\) 级数¶
定义 9.4.1¶
- 如果级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n, (u_n>0)\), 则称此级数为 交错级数, 进一步, 若级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}u_n\) 满足 \(\{u_n\}\) 单调减少且收敛到 \(0\), 那么这样的交错级数称为 \(\text{Leibniz}\) 级数
定理 9.4.2 (\(\text{Leibniz}\) 判别法)¶
- \(\text{Leibniz}\) 级数一定收敛
[!NOTE] 对于 \(\text{Leibniz}\) 级数
\(0\leq \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}u_n \leq u_1\\\) \(r_n = \sum\limits_{k=n+1}^{\infty}(-1)^{k+1}u_k\) 有 \(|r_n|\leq u_{n+1}\)
\(\text{Abel}\) 判别法与 \(\text{Dirichlet}\) 判别法¶
引理 9.4.1 \(\text{Abel}\) 变换¶
- 设 \(\{a_n\}, \{b_n\}\) 是两个数列, 记
- \(B_k = b_1+b_2+\cdots+b_k\), 则
-
\[\sum\limits_{k=1}^{N} a_kb_k = a_NB_N-\sum\limits_{k=1}^{N-1}B_k(a_{k+1}-a_k)\]
-
- \(B_k = b_1+b_2+\cdots+b_k\), 则
引理 9.4.2 \(\text{Abel}\) 引理¶
- 设
- \(\{a_n\}\) 单调
- \(\{B_n\}\) 有界, 即 \(\exists M>0, s.t.|B_n|\leq M\)
则
-
\[\sum\limits_{n=1}^{N}a_nb_n\leq M(|a_1|+2|a_N|)\]
-
- 由 \(\text{Abel}\) 变换容易证明
定理 9.4.3 (级数的 \(\text{A-D}\) 判别法)¶
- 若下列两个条件之一成立, 则级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nb_n\) 收敛
- \(\text{Abel}\) 判别法: \(\{a_n\}\) 单调有界, \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n\) 收敛
- \(\text{Dirichlet}\) 判别法: \(\{a_n\}\) 单调趋于 \(0\), \(\left\{\sum\limits_{i=1}^{n} b_i\right\}_{n=1}^\infty\) 有界
[!NOTE] \(\text{Abel}\) 判别法是 \(\text{Dirichlet}\) 判别法的特例
级数的绝对收敛和条件收敛¶
定义 9.4.2¶
- 如果级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_n|\) 收敛, 则称级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\) 为绝对收敛级数, 如果级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty x_n\) 收敛但是 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_n|\) 发散, 则称级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\) 为条件收敛级数
[!NOTE] 令 \(x_n^+ = \frac{|x_n|+x_n}{2}=\begin{cases} x_n & x_n>0 \\ 0 & x_n\leq 0 \end{cases}, x_n^- = \frac{|x_n|-x_n}{2}=\begin{cases} -x_n & x_n<0 \\ 0 & x_n\geq 0 \end{cases}\), 则 \(x_n=x_n^+-x_n^-\), 从而有 \(x_n = x_n^+ - x_n^-, |x_n| = x_n^+ + x_n^-\)
定理 9.4.4¶
- 若级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\) 绝对收敛, 则 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n^+, \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n^-\) 都收敛
- 若级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\) 条件收敛, 则 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n^+, \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n^-\) 都发散到无穷
加法交换律¶
[!NOTE] 已经知道, 收敛级数满足结合律(可以任意加括号), 那么是否满足交换律呢?
事实上, 对于绝对收敛级数, 是满足交换律的, 对于条件收敛级数, 是不满足交换律的
定理 9.4.5¶
- 若级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\) 绝对收敛, 则它的任意更序级数 \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}x_{n_k}\) 也绝对收敛, 并且和不变
定理 9.4.6 \(\text{Riemann}\) 定理¶
- 设级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\) 条件收敛, 则对于任意的 \(s, -\infty\leq s \leq +\infty\), 必定存在 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\) 的更序级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x'_n\) 满足
-
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n' = s\]
-
级数的乘法¶
-
\(\text{Cauchy}\) 乘积: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n\), 其中
-
\[c_n = a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1 = \sum\limits_{k=1}^na_kb_{n-k+1}\]
-
-
正方形排列: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}d_n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n\), 其中
-
\[d_n = a_1b_n+a_2b_n+\cdots+a_nb_n+a_nb_{n-1}, \cdots+a_nb_1\]
- 若级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n, \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n\) 都是收敛的, 那么 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} d_n=(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n)(\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n)\) 收敛
- 但是这不能保证 \(\text{Cauchy}\) 乘积的收敛性
-
定理 9.4.7¶
- 如果级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n, \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n\) 都是绝对收敛的, 那么 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} c_n\) 也是绝对收敛的, 并且
-
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n\]
- 事实上此时 \(\sum a_ib_j\) 的任意更序级数都是收敛的, 且和不变
-
无穷乘积¶
无穷乘积的定义¶
-
设 \(p_1, p_2, \cdots, p_n, \cdots\) 是无穷可列个数, 称它们的乘积
-
\[p_1p_2\cdots p_n\cdots\]
- 为无穷乘积, 记作 \(\prod\limits_{n=1}^{\infty}p_n\), 其中 \(p_n\) 称为乘积的通项
-
-
部分积数列定义为 \(\{P_n\}, :P_n=p_1p_2\cdots p_n\)
定义 9.5.1¶
- 如果部分积数列 \(\{P_n\}\) 收敛到 非零 有限数 \(P\), 则称无穷乘积 \(\prod\limits_{n=1}^{\infty}p_n\) 收敛, 称它的乘积是 \(P\), 记作
-
\[\prod\limits_{n=1}^{\infty}p_n=P\]
- 如果 \(\{P_n\}\) 发散或者收敛到 \(0\), 则称无穷乘积 \(\prod\limits_{n=1}^{\infty}p_n\) 发散
-
[!NOTE] 这里 \(P=0\) 的时候是发散的
定理 9.5.1¶
-
如果无穷乘积收敛, 则
-
\[\lim_{n\to\infty}p_n=1\]
-
\[\lim\limits_{m\to\infty} \prod\limits_{n=m+1}^{\infty}p_n = 1\]
-
-
通常可以记 \(p_n = 1+a_n\), 则 \(p_n\to 1\iff a_n\to 0\)
[!NOTE] 这说明无穷乘积收敛的必要条件是通项趋于 \(1\)
-
\(\text{Wallis}\) 公式:
-
\[\prod\limits_{n=1}^{\infty}(1-\frac{1}{4n^2})=\frac{2}{\pi}\]
-
\[\prod\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2n}{2n-1}\frac{2n}{2n+1}=\frac{\pi}{2}\]
-
-
\(\text{Viete}\) 公式:
-
\[\prod\limits_{n=1}^{\infty}\cos \frac{x}{2^n}=\frac{\sin x}{x}\]
-
\[\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{8}\cdots\cos\frac{\pi}{2^n}\cdots = \frac{2}{\pi}\]
-
无穷乘积与无穷级数¶
[!NOTE] 同数项级数一样, 无穷乘积的收敛性只需要考虑充分大的 \(n\) 之后的情况, 又考虑到 \(p_n\to 1\), 由极限的保号性, 不妨设 \(p_n > 0\)
定理 9.5.2¶
- 无穷乘积 \(\prod\limits_{n=1}^{\infty}p_n\) 收敛的充要条件是级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln p_n\) 收敛
[!NOTE] 这里无穷乘积发散到 \(0\) 的充要条件是 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln p_n\) 发散到 \(-\infty\)
推论 9.5.1¶
-
设 \(a_n>0(a_n<0)\), 则无穷乘积 \(\prod\limits_{n=1}^{\infty}(1+a_n)\) 收敛的充要条件是级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\) 收敛
- 证明:
- 若 \(a_n\not\to 0\), 则两个级数都发散(必要条件), 如果不然有
- 无穷乘积 \(\prod\limits_{n=1}^{\infty}(1+a_n)\) 收敛 \(\iff \sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln(1+a_n)\) 收敛, 又
-
\[\lim_{n\to\infty}\ln(1+a_n)=a_n\]
-
- 由比较判别法, 级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\) 收敛当且仅当级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln(1+a_n)\) 收敛
- 证明:
[!IMPORTANT] 注意这里 \(a_n\) 定号!
如果 \(a_n\) 不定号, 那么就算 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\) 收敛也不能保证 \(\prod\limits_{n=1}^{\infty}(1+a_n)\) 收敛, 比如 \(a_n=(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}\)
推论 9.5.2¶
- 设级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\) 收敛, 则无穷乘积 \(\prod\limits_{n=1}^{\infty}(1+a_n)\) 收敛的充要条件是级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n^2\) 收敛
[!NOTE] 注意这里没有要求 \(a_n\) 定号
\[\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n-\ln(1+a_n)}{a_n^2}=\frac{1}{2}\]分子分母都是正的, 由比较判别法即可证明
定义 9.5.2 无穷乘积的绝对收敛¶
- 当级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln p_n\) 绝对收敛时, 称无穷乘积 \(\prod\limits_{n=1}^{\infty}p_n\) 绝对收敛
[!NOTE] 显然绝对收敛的无穷乘积收敛
由于绝对收敛级数具有可交换性, 从而绝对搜练的无穷乘积也具有可交换性, 但是收敛但不绝对收敛的无穷乘积不一定有可交换性
定理 9.5.3¶
- 设 $a_n>-1, $ 则下列命题等价
- 无穷乘积 \(\prod\limits_{n=1}^{\infty}(1+a_n)\) 绝对收敛
- 无穷乘积 \(\prod\limits_{n=1}^{\infty}(1+|a_n|)\) 收敛
- 级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|\) 收敛
[!IMPORTANT] \(\text{Stirling}\) 公式: \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n}=1\\\) \(\sin x = x\prod\limits_{n=1}^\infty(1-\frac{x^2}{n^2\pi})\)