反常积分¶
[!NOTE] 在定义黎曼积分的时候,我们都要求函数在闭区间上有界,但是实际上很多时候这个条件是不能被满足的,因此需要考虑无界函数或者无界区间上的积分,这样的积分称为广义积分(反常积分)
反常积分的概念和计算¶
反常积分¶
定义 8.1.1¶
- 设\(f(x)\)在区间\([a,+\infty)\)上有定义,且在任意有限区间\([a,A]\)上可积,如果极限
-
\[\lim_{A\to+\infty}\int_a^Af(x)dx\]
- 存在,则称反常积分\(\int_a^{+\infty}f(x)dx\)收敛(或称\(f(x)\)在区间\([a,+\infty)\)上可积),其积分值定义为
-
\[\int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim_{A\to+\infty}\int_a^Af(x)dx\]
-
- 否则称反常积分\(\int_a^{+\infty}f(x)dx\)发散(其他情形定义类似)
-
[!NOTE] 奇点:函数\(f\)在\(x_0\)的任一去心邻域上都是无界的,则称\(x_0\)是\(f\)的奇点
定义 8.1.2¶
- 设函数\(f(x)\)在\(x=b\)的左邻域无界,若对任意\(\eta\in (0,b-a)\),\(f(x)\)在区间\([a,b-\eta]\)上可积,并且极限
-
\[\lim_{\eta\to 0^+}\int_a^{b-\eta}f(x)dx\]
- 存在,则称反常积分\(\int_a^bf(x)dx\)收敛(或称无界函数\(f(x)\)在区间\([a,b)\)上可积),其积分值定义为
-
\[\int_a^bf(x)dx=\lim_{\eta\to 0^+}\int_a^{b-\eta}f(x)dx\]
-
- 否则称反常积分\(\int_a^bf(x)dx\)发散(其他情形定义类似)
-
[!NOTE] 积分\(\int_a^\infty f(x)dx\)收敛和\(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0\)没有任何关系,积分收敛不代表函数在无穷远处取值为0,甚至不能要求有界,(连续函数也不行).反过来也有反例(\(1/x\))
反常积分计算¶
定义 8.1.3 \(\text{Cauchy主值}\)¶
- 若
-
\[\lim_{A\to + \infty}\int_{-A}^Af(x)dx=\lim\limits_{A\to +\infty}[F(A)-F(-A)]\]
- 极限存在,则称该极限值为反常积分\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx\)的\(\text{Cauchy}\)主值,记为
-
\[(\text{ cpv})\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx\]
-
-
[!NOTE] 如\(\frac{1}{x}\)在\((-\infty,\infty)\)上的积分,按原定义是发散的,但是\((\text{cpv})\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{x}dx=0\)
反常积分的收敛判别法¶
反常积分的\(\text{Cauchy}\)收敛原理¶
定理 8.2.1 \(\text{Cauchy}\)收敛原理¶
- 反常积分\(\int_a^{+\infty}f(x)dx\)收敛的充要条件是:对任意\(\varepsilon>0\),存在\(A>a\),使得当\(A_1,A_2>A\)时,有
-
\[\left|\int_{A_1}^{A_2}f(x)dx\right|<\varepsilon\]
-
定义 8.2.1 绝对可积¶
-
若积分\(\int_a^{+\infty}|f(x)|dx\)收敛,则称反常积分\(\int_a^{+\infty}f(x)dx\)绝对收敛(或称\(f(x)\)在\([a,\infty)\)上绝对可积)
- 若反常积分收敛但不绝对收敛,则称反常积分条件收敛
推论 8.2.1¶
- 函数绝对可积则必定可积
非负函数反常积分的比较判别法¶
定理 8.2.2 比较判别法¶
- 设在\([a,+\infty)\)上\(0\leq f(x)\leq K\varphi(x),K\in\mathbb{R}^+\),则
- 若\(\int_a^{+\infty}\varphi(x)dx\)收敛,则\(\int_a^{+\infty}f(x)dx\)收敛
- 若\(\int_a^{+\infty}f(x)dx\)发散,则\(\int_a^{+\infty}\varphi(x)dx\)发散
推论 8.2.2 比较判别法的极限形式¶
-
设在\([a,+\infty)\)上恒有\(f(x),\varphi(x)\geq 0,\)且
-
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{\varphi(x)}=l\]
- 则
-
若 \(l\in [0,\infty)\) ,则\(\int_a^{+\infty}\varphi(x)dx\)收敛\(\implies \int_a^{+\infty}f(x)dx\)收敛
- 若 \(l\in (0,\infty)\cup \{\infty\}\) ,则\(\int_a^{+\infty}\varphi(x)dx\)发散\(\implies \int_a^{+\infty}f(x)dx\)发散
- 从而当\(l\in (0,\infty)\)时,\(\int_a^{+\infty}f(x)dx\)与\(\int_a^{+\infty}\varphi(x)dx\)同敛散
-
定理 8.2.3 \(\text{Cauchy判别法}\)¶
- 设在\([a,+\infty)\)上恒有\(f(x)\geq 0,K\in\mathbb{R}^+\),则
- 若\(f(x)\leq \frac{K}{x^p},p>1\),则\(\int_a^{+\infty}f(x)dx\)收敛
- 若\(f(x)\geq \frac{K}{x^p},p\leq 1\),则\(\int_a^{+\infty}f(x)dx\)发散
[!NOTE] 实际上就是比较判别法的特例\(\varphi(x)=\frac{K}{x^p}\)
推论 8.2.3 \(\text{Cauchy判别法的极限形式}\)¶
-
设在\([a,+\infty)\)上恒有\(f(x)\geq 0\),且
-
\[\lim_{x\to+\infty}x^pf(x)=l\]
- 则
-
若 \(l\in [0,\infty)\) 且\(p>1\),则\(\int_a^{+\infty}f(x)dx\)收敛
- 若 \(l\in (0,\infty)\cup \{\infty\}\) 且\(p\leq 1\) ,则\(\int_a^{+\infty}f(x)dx\)发散
-
一般函数反常积分的收敛判别法¶
定理 8.2.4 积分第二中值定理¶
-
设\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积,\(g(x)\)在\([a,b]\)上单调,则存在\(\xi\in [a,b]\),使得
-
\[\int_a^bf(x)g(x)dx=g(a)\int_a^\xi f(x)dx+g(b)\int_\xi^bf(x)dx\]
-
-
在上述条件下
- 若\(g(x)\)单增,且\(g(a)\geq 0\)则\(\exists \xi\in [a,b]\),使得
-
\[\int_a^bf(x)g(x)dx = g(b)\int_\xi^bf(x)dx\]
-
- 若\(g(x)\)单减,且\(g(b)\geq 0\)则\(\exists \xi\in [a,b]\),使得
-
\[\int_a^bf(x)g(x)dx = g(a)\int_a^\xi f(x)dx\]
-
- 若\(g(x)\)单增,且\(g(a)\geq 0\)则\(\exists \xi\in [a,b]\),使得
[!NOTE] 后面加强的结论在条件中对\(g\)的约束相当于要求\(g\geq 0\)
定理 8.2.5 \(\text{Abel-Dirichlet判别法}\)¶
- 若以下两个条件满足之一,则反常积分 \(\int_a^\infty f(x)g(x)dx\) 收敛
- \(\text{Abel判别法}:\int_a^\infty f(x)dx\) 收敛, \(g(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 上单调有界
- \(\text{Dirichlet判别法}:F(x)=\int_a^x f(t)dt\) 在 \([a,\infty)\)上有界(不要求收敛), \(g(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 上单调且 \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=0\)
[!NOTE] 1. 看能不能找到函数的部分函数使得其积分收敛,如果可以再看剩下的部分是否是单调有界的,如果是就满足\(\text{Abel判别法}\)
- 如果积分部分不收敛,看部分函数的原函数是否有界,如果有界,再看剩下的部分是否是单调趋于0的,如果是就满足\(\text{Dirichlet判别法}\)
[!NOTE] 实际上在\(\text{Dirichlet判别法}\)中,\(g\)在充分大的状态下单调就行了
无界函数反常积分的收敛判别法¶
- 对在 \(x=b\) 有奇点时
定理 8.2.1' \(\text{Cauchy}\)收敛原理¶
- 反常积分 \(\int_a^{+\infty}f(x)dx\) 收敛 \(\iff \forall \varepsilon>0,\exists \delta > 0, s.t.\forall \eta,\eta' \in (0,\delta):\)
-
\[\left|\int_{b-\eta}^{b-\eta'}f(x)dx\right|<\varepsilon\]
-
定理 8.2.3' \(\text{Cauchy}\)判别法¶
- 设 \(f(x)|_{[a,b)}\geq 0,\) 若 \(\exists \eta >0, s.t. \forall x\in [b-\eta,b),\exists K\in \mathbb{R}^+:\)
- \(\(f(x)\leq \frac{K}{(b-x)^p},p<1\)\) 则 \(\int_a^bf(x)dx\) 收敛
- \(\(f(x)\geq \frac{K}{(b-x)^p},p\geq 1\)\) 则 \(\int_a^bf(x)dx\) 发散
推论 8.2.3' \(\text{Cauchy}\)判别法的极限形式¶
- 设 \(f(x)|_{[a,b)}\geq 0,\) 且
- \(\(\lim_{x\to b^-}(b-x)^pf(x)=l\)\) 则
- 若 \(l\in [0,\infty)\) 且 \(p<1\),则 \(\int_a^bf(x)dx\) 收敛
- 若 \(l\in (0,\infty)\cup \{\infty\}\) 且 \(p\geq 1\),则 \(\int_a^bf(x)dx\) 发散
定理 8.2.5' \(\text{Abel-Dirichlet判别法}\)¶
- 若以下两个条件满足之一,则反常积分 \(\int_a^bf(x)g(x)dx\) 收敛
- \(\text{Abel判别法}:\int_a^bf(x)dx\) 收敛, \(g(x)\) 在 \([a,b)\) 上单调有界
- \(\text{Dirichlet判别法}:F(x)=\int_a^x f(t)dt\) 在 \([a,b)\) 上有界(不要求收敛), \(g(x)\) 在 \([a,b)\) 上单调且 \(\lim\limits_{x\to b^-}g(x)=0\)
推论¶
- 设 \(\int_a^{+\infty} f(x)dx\) 收敛, 且 \(f(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 上一致连续, 则 \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\)