定积分¶
[!NOTE] 定义定积分时, 要求函数在闭区间上有界
[!NOTE] - 符号表示\(f\in\mathscr{R}(I)\), 表示\(f\)在区间\(I\)上Riemann可积
定义 7.1.1¶
-
设\(f(x)\)是闭区间\([a, b]\)上的有界函数, 在区间上任意取分点\(\{x_k\}_{k=0}^n\)做成划分\(P\):
-
\[P:a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b\]
- 并任意取\(\xi_i\in [x_{i-1}, x_i]\), 记\(\Delta x_i=x_i-x_{i-1}, \lambda = \max\{\Delta x_i\}\), 若极限
-
\[\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i\]
-
- 存在, 且极限既与划分\(P\)无关, 又与\(\xi_i\)的选取无关, 则称\(f(x)\)在闭区间\([a, b]\)上Riemann可积, 并称和式
-
\[S_n = \sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i\]
-
- 为 Riemann 和, 其极限值称为\(f(x)\)在闭区间\([a, b]\)上的定积分, 记作
-
\[\int_a^bf(x)dx\]
- \(a, b\)称为积分的上下限
-
-
-
\(f\in \mathscr{R}(I) \iff \exists I\in R, s.t.\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, s.t.\forall P:x_0=a<x_1<\cdots<x_n=b, \forall \xi_i\in [x_{i-1}, x_i], \forall \lambda=\max\{\Delta x_i\}<\delta\):
-
\[\left |\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i-I\right |<\varepsilon\]
-
Darboux和¶
- 考虑闭区间\(I=[a, b]\)
- 定义\(M=\sup\limits_I f(x), m=\inf\limits_I f(x), M_i=\sup\limits_{[x_{i-1}, x_i]}f(x), m_i=\inf\limits_{[x_{i-1}, x_i]}f(x)\)
- 给定划分\(P:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\)
- 定义\(\overline{S}(P)=\sum\limits_{i=1}^nM_i\Delta x_i, \underline{S}(P)=\sum\limits_{i=1}^nm_i\Delta x_i\)
- 称\(\overline{S}(P), \underline{S}(P)\)为Darboux大和, 小和
- 则\(\forall S_n(P)\), 有
-
\[\underline{S}(P)\leq S_n(P)\leq \overline{S}(P)\]
-
引理 7.1.1¶
-
在原有划分中添加分点形成新划分, 则大和不增, 小和不减
-
定义\(\overline{S}\)为一切划分得到的 Darboux 大和的集合, \(\underline{S}\)为一切划分得到的 Darboux 小和的集合
引理 7.1.2¶
- \(\forall \overline{S}(P_1)\overline{S}, \underline{S}(P_2)\in\underline{S}\), 有
-
\[m(b-a)\leq \underline{S}(P_1)\leq \overline{S}(P_2)\leq M(b-a)\]
-
引理 7.1.3 Darboux 定理¶
- \(\forall f\in B([a, b])\):
-
\[\lim\limits_{\lambda\to 0}\overline{S}(P)=\inf \overline{S}, \lim\limits_{\lambda\to 0}\underline{S}(P)=\sup \underline{S}\]
-
定理 7.1.1¶
-
有界函数\(f(x)\)在闭区间\([a, b]\)上Riemann可积的充要条件是, 对于任意的划分\(P\), 当\(\lambda\to 0\)时, Darboux 大和和 Darboux 小和的极限相等, 也就是
-
\[\lim\limits_{\lambda\to 0}\overline{S}(P)=\lim\limits_{\lambda\to 0}\underline{S}(P)\]
-
-
\(\forall f\in B([a, b]):f\in \mathscr{R}([a, b]) \iff \forall P, \lim\limits_{\lambda\to 0}\overline{S}(P)=\lim\limits_{\lambda\to 0}\underline{S}(P)\)
- 若令\(\omega_i = M_i-m_i\)为区间\([x_{i-1}, x_i]\)上的振幅, 则
定理 7.1.2¶
-
有界函数\(f(x)\)在闭区间\([a, b]\)上Riemann可积的充要条件是, 对任意划分\(P\), 当\(\lambda\to 0\)时,
-
\[\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum\limits_{i=1}^n\omega_i\Delta x_i=0\]
-
-
\(\forall f\in B([a, b]):f\in \mathscr{R}([a, b]) \iff \forall P, \lim\limits_{\lambda\to 0}\sum\limits_{i=1}^n\omega_i\Delta x_i=0\)
推论 1¶
- 闭区间上的连续函数是Riemann可积的
- \(f\in C([a, b])\implies f\in \mathscr{R}([a, b])\)
推论 2¶
- 闭区间上的单调函数是Riemann可积的
定理 7.1.3¶
-
有界函数\(f(x)\)在闭区间\([a, b]\)上Riemann可积的充要条件是, 对任意\(\varepsilon>0\), 存在一种划分, 使得 对应的振幅满足
-
\[\sum\limits_{i=1}^n\omega_i\Delta x_i<\varepsilon\]
-
-
\(\forall f\in B([a, b]):f\in \mathscr{R}([a, b]) \iff \forall \varepsilon>0, \exists P, s.t.\sum\limits_{i=1}^n\omega_i\Delta x_i<\varepsilon\)
- 注意我们虽然在定积分的定义中说\(I\)与划分\(P\)无关, 但是实际上我们对\(P\)是有要求的, 也就是它要足够"细", (\(\lambda\to 0\)), 其余的划分都来的比这个划分更细
推论 3¶
-
闭区间上只有有限个不连续点的有界函数是Riemann可积的
- 因为有界, 所以当\(\lambda\to 0\)时, \(\omega_i\Delta x_i\)可以被控制住
定积分基本性质¶
性质 1 线性性¶
- \(f, g\in \mathscr{R}([a, b]), \alpha, \beta\in R\), 则
-
\[\alpha f(x)+\beta g(x)\in \mathscr{R}([a, b])\]
-
\[\int_a^b(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha\int_a^bf(x)dx+\beta\int_a^bg(x)dx\]
-
推论 1¶
-
若\(f(x)\in \mathscr{R}([a, b]), g(x)\)仅在有限个点上和\(f(x)\)不同 - 则
-
\[g(x)\in \mathscr{R}([a, b])\]
- 且
-
\[\int_a^bg(x)dx=\int_a^bf(x)dx\]
-
这就是说改变有限个点的函数值不影响函数的可积性和积分值
-
性质 2 乘积可积性¶
-
\(f, g\in \mathscr{R}([a, b]) \implies f(x)g(x)\in \mathscr{R}([a, b])\)
- 只需注意到\(\omega^{fg}_i\leq M(\omega^g_i+\omega^f_i), M=\max\{M_f, M_g\}\)即可证明
性质 3 保序性¶
- 若\(f(x)\in \mathscr{R}([a, b]), f(x)\leq g(x)\), 则
-
\[\int_a^bf(x)dx\leq \int_a^bg(x)dx\]
-
性质 4 绝对可积性¶
-
若\(f(x)\in \mathscr{R}([a, b])\), 则
-
\[|f(x)|\in \mathscr{R}([a, b])\]
-
\[\left |\int_a^bf(x)dx\right |\leq \int_a^b|f(x)|dx\]
-
只需注意到\(\omega^{|f|}_i\leq \omega^f_i\)即可证明
-
性质 5 区间可加性¶
- \(f\in\mathscr{R}([a, b])\implies \forall c\in (a, b), f\in \mathscr{R}([a, c]), f\in \mathscr{R}([c, b])\)
- \(f\in \mathscr{R}([a, b]), f\in \mathscr{R}([b, c])\implies f\in \mathscr{R}([a, c])\), 且
-
\[\int_a^bf(x)dx+\int_b^cf(x)dx=\int_a^cf(x)dx\]
-
性质 6 积分第一中值定理¶
-
设\(f(x), g(x)\)在区间\([a, b]\)上可积, 并且\(g(x)\)不变号, 那么存在\(\eta\in [m, M], s.t.\)
-
\[\int_a^bf(x)g(x)dx = \eta\int_a^bg(x)dx\]
- 其中\(m, M\)为\(f\)在\([a, b]\)上的下确界和上确界
- 若\(f\)连续, 则\(\exists \xi\in [a, b], s.t.f(\xi)=\eta\),
-
\[\int_a^bf(x)g(x)dx = f(\xi)\int_a^bg(x)dx\]
-
-
-
\(f, g\in\mathscr{R}(I), I=[a, b], g|_I>0(<0)\implies \exists\eta\in [\inf\limits_{I} f, \sup\limits_{I} f], s.t.\)
-
\[\int_Ifgdx=\eta\int_I gdx\]
-
[!IMPORTANT] \(\text{Holder不等式}:\\\) \(f, g\in C(I), I=[a, b], \forall p, q>0, s.t.\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1:\\\)
\[\int_I |fg|dx\leq \left (\int_I |f|^pdx\right )^{\frac{1}{p}}\left (\int_I |g|^qdx\right )^{\frac{1}{q}}\]
微积分基本定理¶
\(\text{Newton-Leibniz}\) 公式¶
定理 7.3.1¶
-
设\(f(x)\)在\([a, b]\)上可积作函数
- \(\(F(x)=\int_a^xf(t)dt, x\in [a, b]\)\) 则
- \(F(x)\)在\([a, b]\)上连续
- 若\(f(x)\)在\([a, b]\)上连续, 则\(F(x)\)在\([a, b]\)上可微, 且
-
\[F'(x)=f(x)\]
-
-
从而任一连续函数\(f(x)\)在\([a, b]\)上都有原函数\(\int_a^xf(t)dt\)
定理 7.3.2 微积分基本定理¶
- 设\(f(x)\)在\([a, b]\)上连续, \(F(x)\)是\(f(x)\)在\([a, b]\)上的一个原函数, 则
-
\[\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)\]
-
分部积分和换元积分¶
定理 7.3.3 分部积分公式¶
- 设\(u(x), v(x)\)在\([a, b]\)上有连续导数, 则
-
\[\int_a^bu(x)v'(x)dx=u(x)v(x)\bigg|_a^b-\int_a^bu'(x)v(x)dx\]
-
定义 7.3.1¶
- 设\(g_n(x)\)是定义在\([a, b]\)上的一列可积函数, 且\(\forall m, n\):
-
\[\int_a^b g_m(x)g_n(x)dx = \begin{cases} 0 & m\neq n\\ \int_a^bg_n^2(x)dx & m=n \end{cases}\]
- 则称\(\{g_n(x)\}\)是\([a, b]\)上的一个正交函数列
- 特别的当\(g_n\)是\(n\)次多项式时, 称\(\{g_n\}\)为\([a, b]\)上的一个正交多项式列
-
定理 7.3.4 换元积分法¶
- 设\(f(x)\)在区间\([a, b]\)上连续, \(x=\varphi(t)\)在区间\([\alpha, \beta]\)上具有连续导数, 其值域包含于\([a, b]\), 且满足$\varphi(\alpha)=a, \varphi(\beta)=b, $则
-
\[\int_a^bf(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(t))\varphi'(t)dt\]
-
定理 7.3.5¶
- 设\(f\in \mathscr{R}([-a, a])\)
- 若\(f(x)\)是偶函数, 则
-
\[\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_0^af(x)dx\]
-
- 若\(f(x)\)是奇函数, 则
-
\[\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\]
-
- 若\(f(x)\)是偶函数, 则
定理 7.3.6¶
- 设\(f\)是周期为\(T\)的可积函数, 则对任意\(a\),
-
\[\int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^Tf(x)dx\]
-
定积分在几何计算中的应用¶
求平面图形的面积¶
- 容易理解
求曲线的弧长¶
定义 7.4.1 弧长公式¶
- 若由参数方程
- \(\(\begin{cases} x=x(t)\\ & t\in [T_1, T_2]\\ y=y(t) \end{cases}\)\) 定义的曲线是光滑的, 则它是可求长的, 且其弧长为
-
\[L=\int_{T_1}^{T_2}\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt\]
[!NOTE] 称\(dl = \sqrt{ x'^2 + y'^2 }dt\)为弧微元(弧长的微分)
-
当曲线是由函数\(y=f(x), x\in [a, b]\)定义时, 弧长公式为
-
\[L=\int_a^b\sqrt{1+f'^2(x)}dx\]
-
-
当曲线是由极坐标方程\(r=r(\theta), \theta\in [\alpha, \beta]\)定义时, 弧长公式为
-
\[L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}d\theta\]
-
求某些特殊几何体的体积, 旋转曲面的面积, 曲线的曲率¶
微积分实际应用¶
定积分数值计算¶
- 参考数值分析(科学计算)