微分中值定理及其应用¶
微分中值定理¶
定义 5.1.1¶
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\((a,b)\subset D_f,x_0\in (a,b)\text{若}\exists\delta>0,s.t.\forall x\in O(x_0,\delta)\subset (a,b):f(x)\leq f(x_0)\text{则称} x_0\text{是函数的一个极大值点},f(x_0)\text{称为函数的极大值}\)
- 类似的可以定义极小值和极小值点
定理 5.1.1(Fermat 引理)¶
- \(x_0\)是\(f(x)\)的极值点,且\(f(x)\)在\(x_0\)可导,则\(f'(x_0)=0\)
定理 5.1.2(Rolle 定理)¶
- 若\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续,在\((a,b)\)内可导,\(f(a)=f(b)\),则至少存在一点\(\xi\in(a,b),s.t.f'(\xi)=0\)
定理 5.1.3(Lagrange 中值定理)¶
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若\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续,在\((a,b)\)内可导,则至少存在一点\(\xi\in(a,b),s.t.\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)\)
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证明:令\(\phi(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\),则\(\phi(a)=\phi(b)=0\),由Rolle定理,存在\(\xi\in(a,b),s.t.\phi'(\xi)=0\),即
-
\[f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]
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定理 5.1.4¶
- 函数\(f\)在\((a,b)\)内可导,且\(f'(x)=0,\forall x\in (a,b)\),则 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内是常数函数
定理 5.1.5(一阶导数和单调性的关系)¶
- 设函数\(f(x)\)在区间\(I\)上可导,则\(f\)在区间\(I\)上单调增加的充要条件是\(f'(x)\geq 0,\forall x\in I\)
定义 5.1.2¶
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\(I\subset D_f,\forall x_1,x_2\in I,\forall\lambda\in (0,1):f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)\),则称\(f(x)\)在\(I\)上是下凸函数
- 类似的可以定义上凸函数
定理 5.1.6(二阶导数和凸性的关系)¶
- 设函数\(f(x)\)在区间\(I\)上二阶可导,则\(f\)在区间\(I\)上是下凸函数的充要条件是\(f''(x)\geq 0,\forall x\in I\)
称曲线上凸和下凸的转折点为拐点¶
定理 5.1.7¶
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设函数\(f(x)\)在区间\(I\)上连续,\(J=O(x_o,\delta)\subset I\),
- 若\(f\)在\(J\)上二阶可导,且\(f\)在\((x_0-\delta,x_0),(x_0,x_0+\delta)\)上符号相反,称\((x_0,f(x_0))\)是\(f(x)\)的一个拐点,否则不是
- 若是拐点,则\(f''(x_0)=0\)
定理 5.1.8(Jesen 不等式)¶
- 若函数\(f(x)\)在区间\(I\)上是下凸函数,则\(\forall x_i\in I,\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i=1,\lambda_i\geq 0\),有\(f(\sum\limits_{i=1}^n\lambda_ix_i)\leq \sum\limits_{i=1}^n\lambda_if(x_i)\)
定理 5.1.9(Cauchy 中值定理)¶
- 若函数\(f(x),g(x)\)在\([a,b]\)上连续,在\((a,b)\)内可导,\(g'(x)\neq 0,\forall x\in (a,b)\),则至少存在一点\(\xi\in(a,b),s.t.\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)
L'Hospital 法则¶
定理 5.2.1(L'Hospital 法则)¶
- 设函数\(f,g\)在区间\((a ,a+d]\)上可导,且\(g'(x)\neq 0\),若此时有\(\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}g(x)=0\)或\(\lim\limits_{x\to a^+}g(x)=\infty\),且\(\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}\exists\),则\(\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)
可转化的极限¶
- \(0\cdot\infty=\frac{0}{\frac{1}{\infty}}=\frac{0}{0}\)
- \(1^\infty=e^{\ln(1^\infty)}=e^{\infty\ln1}=e^{0\cdot\infty}\)
- ...
Taylor 公式和插值多项式¶
定理 5.3.1(带 Peano 余项的 Taylor 公式)¶
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设函数\(f(x)\)在\(x_0\)的某邻域内\(n\)阶可导,则存在\(x_0\)的一个邻域,使得对邻域中任何一点有:
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\[f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+r_n(x)\]
- 其中 \(r_n(x)=o((x-x_0)^n)\)
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定理 5.3.2(带 Lagrange 余项的 Taylor 公式)¶
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设函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上具有\(n\)阶连续的导数,在\((a,b)\)上有\(n+1\)阶导数,则\(\forall x_0\in (a,b),\forall x\in (a,b)\):
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\[f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+r_n(x)\]
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其中\(r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1},\xi\text{在} x\text{和}x_0\text{之间}\)
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定义 5.3.1¶
- 设函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上的\(m+1\)个互异点\(x_0,x_1,\cdots,x_m\)上的函数值和若干导数值\(f^{(j)}(x_i)\)已知,若存在一个\(n\)次多项式\(P_n(x),s.t.P_n^{(j)}(x_i)=f^{(j)}(x_i),i=0,1,\cdots,m\),则称\(P_n(x)\)为\(f(x)\)在\([a,b]\)上关于插值节点\(x_0,x_1,\cdots,x_m\)的\(n\)次插值多项式,\(r_n(x)=f(x)-P_n(x)\)为插值余项
定理 5.3.3(插值多项式的余项定理)¶
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如定义 5.3.1 满足的\(P,f\),其余项\(r_n\)有估计:
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\[r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\omega_n(x)\]
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其中\(\omega_n(x)=(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_m),\xi\in (\min{x_i},\max{x_i})\)
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定理 5.3.4¶
- 满足上述插值条件的插值多项式存在且唯一
函数的Taylor公式及其应用¶
Maclaurin公式¶
- \(f(x)\)在\(x=0\)处的 Taylor 展开称为 Maclaurin 公式:\(f(x)=f(0)+f'(0)+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+r_n(x)\)
定理 5.4.1¶
- \(f\)在\(x_0\)的某个邻域中有\(n+2\)阶导数,那它的\(n+1\)阶 Taylor 多项式恰好是\(f'\)的\(n\)阶 Taylor 多项式
Taylor公式的应用¶
- 近似计算
- 求极限
- 证明不等式
- 求渐进方程
- 外推
应用举例¶
定理 5.5.1(极值点判定定理)¶
- 设\(f(x)\)在\(x_0\)领域中定义,在\(x_0\)处连续
- 若\(f\)在邻域中可导
- 导数左负右正,则\(x_0\)是极小值点
- 导数左正右负,则\(x_0\)是极大值点
- 导数左右同号,则\(x_0\)不是极值点
- 若\(f'(x_0)=0\),且\(f\)在\(x_0\)处二阶可导
- \(f''(x_0)>0\),则\(x_0\)是极小值点
- \(f''(x_0)<0\),则\(x_0\)是极大值点
- \(f''(x_0)=0\),则无法判定
方程近似解¶
定理 5.6.1(牛顿法)¶
- 设\(f(x)\)在\([a,b]\)上有连续二阶导数,且\(f(a)f(b)<0,f',f''\text{在}(a,b)\text{保号}\),取\(x_0,s.t.f(x_0)f''(x_0)>0\),则以\(x_0\)为初值的牛顿法迭代序列收敛于\(f(x)=0\)的根