微分¶
微分和导数¶
定义 4.1.1¶
- 对函数 \(y=f(x)\)定义域中的一点 \(x_0\),如果存在一个只与 \(x_0\)有关而与\(\Delta x_0\)无关的数 \(g(x_0)\),使得 \(\Delta x_0\to 0\) 时有\(\Delta y=g(x_0)\Delta x+o(\Delta x )\).则称 \(f(x)\)在 \(x_0\)处的微分存在,或称\(f(x)\)在\(x_0\)处可微
定义 4.1.2¶
- 若函数\(f(x)\)在其定义域中一点\(x_0\)处极限 \(\lim\limits_{\Delta x\to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0 }\frac{f(x_0+\Delta x)}{\Delta x}\)存在,则称 \(f(x)\)在 \(x_0\)处可导,并称这个极限值为 \(f(x)\)在 \(x_0\) 处的导数,记为\(f'(x_0)\)
定理 4.1.1¶
- 函数\(y=f(x)\)在\(x_0\)处可导的充分必要条件是函数\(y=f(x)\)在\(x_0\)处可微
定理 4.1.2¶
导数的意义和性质¶
-
导数的几何意义:斜率
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左导数和右导数
-
\(\lim\limits_{x\to x_0 } f(x)=\infty\)和\(\lim\limits_{x\to x_0 } f'(x)=\infty\)没有必然关系
- \(f(x)=\sqrt{x}\)和\(f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\cos(\frac{1}{x})\)
导数四则运算和反函数求导法则¶
定理 4.3.1-4.3.3¶
-
设函数\(u(x)\)和\(v(x)\)在区间\(I\)上可导:
- \(\forall \alpha,\beta,(\alpha f+\beta f)'=\alpha f'+\beta g'\)
- \((fg)'=f'g+fg'\)
- \(\frac{f}{g}'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\)
定理 4.3.4(反函数求导法则)¶
- 若函数\(y=f(x)\)在区间\((a,b)\)上连续,且严格单调(考虑增),可导,并且\(f(x)\neq 0\),则其反函数\(x=f^{-}(y)\)在对应区间\((f(a),f(b))\)上也可导,且有\([f^{-1}(y)]'=\frac{1}{f'(x)}\)
复合函数求导法则及其应用¶
定理 4.4.1¶
- 设函数\(y=f(u)\)和\(u=g(x)\)可导,则复合函数\(y=f[g(x)]\)在区间\(I\)上可导,且有\((f[g(x)])'=f'(g(x))g'(x)\)
一阶微分形式不变性¶
- 不管\(u\)是自变量还是中间变量,函数\(y=f(u)\)的微分形式都是\(dy=f'(u)du\)
参数方程求导¶
-
\(y=f(t),x=g(t),\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{df}{dt}\frac{dg^{-1}}{dx}=\frac{f'}{g'}(t)\)
- 最后一步是隐函数求导
高阶导数和高阶微分¶
定义 4.5.1¶
- 函数的\(n-1\)阶导数可导,那么称其导数为原函数的\(n\)阶导数,记为\(f^{(n)}(x)\)
定理 4.5.1¶
- \(f,g\)都是\(n\)阶可导的函数,则\([\alpha f+\beta g]^{(n)}=\alpha f^{(n)}+\beta g^{(n)}\),\(\alpha,\beta\)为常数
定理 4.5.2(Leibniz公式)¶
- \(f,g\text{都是} n\text{阶可导的函数,则他们的积函数也} n\text{阶可导,且有公式}:\)
- \((fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_n^kf^{(k)}g^{(n-k)}\)
高阶微分¶
- \(y\)的\(n\)阶微分等于他的\(n\)阶导数与自变量微分的\(n\)次方的乘积