函数极限和连续函数¶
函数极限¶
定义 3.1.1¶
- 设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某个去心邻域内有定义，如果存在常数 \(A\)，对于任意给定的正数 \(\varepsilon\)，总存在正数 \(\delta\)，使得当 \(x\) 满足不等式 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，对应的函数值 \(f(x)\) 满足不等式 \(|f(x) - A| < \varepsilon\)，那么常数 \(A\) 是\(f\)在\(x_0\)处的极限,记作\(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A\) 或 \(f(x) \to A\)(\(x \to x_0\) 时)
- \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\iff \forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,s.t.\forall x\in O(x_0,\delta)\backslash\{x_0\}:|f(x)-A|<\varepsilon\)
定理 3.1.1¶
-
设\(A,B\)是\(f\)在\(x_0\)处的极限,则 \(A=B\)
极限唯一性
定理 3.1.2¶
-
若\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=B\)且\(A>B\),则\(\exists\delta>0,s.t.\forall x\in O(x_0,\delta):f(x)>g(x)\)
局部保序性
- 推论 1: 若\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\neq 0\)则\(\exists\delta>0,s.t.\forall x\in O(x_0,\delta):|f(x)| > \frac{|A|}{2}\)
-
推论 2: 若\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=B,\)且\(\exists r>0,s.t.\forall x\in O(x_0,r):g(x)\leq f(x)\),则:\(B\leq A\)
- 就算\(g(x)<f(x)\),也不能推出\(B<A\),例如\(f(x)=1,g(x)=1-x,x_0=0:A=B=1\)
-
推论 3(局部有界性): 若\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\),则\(\exists\delta>0,s.t.f\) 在\(O(x_0,\delta)\)中有界
定理 3.1.3¶
-
若\(\exists r>0,s.t.\forall x\in O(x_0,r):g(x)\leq f(x)\leq h(x)\)且\(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=A\),那么:\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\)
夹逼性
定理 3.1.4¶
- 设\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=B\),则:
- \(\lim\limits_{x\to x_0}(\alpha f(x)\pm \beta g(x))=\alpha A\pm \beta B\)
- \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)=AB\)
- 若\(B\neq 0\),则\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\)
定理 3.1.5(Heine 定理)¶
-
\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\)的充要条件是:对于任何满足条件\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0,x_n\neq x_0\)的数列\(\{x_n\}\),相应的函数值数列\(\{f(x_n)\}\)满足:\(\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=A\)
- 这个定理的作用主要是在证明某个函数极限不存在
- 证明充分性用反证法,假设极限不存在,从而找到一个函数值数列不收敛到\(A\),但是由条件任一符合条件的数列对应的函数值数列都应该收敛到\(A\),从而矛盾,故假设不成立(p66)
定理 3.1.5\('\)¶
- \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\exists\iff\forall\{x_n\}:\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0,x_n\neq x_0:\{f(x_n)\}\)收敛
定义 3.1.2¶
-
\(\exists B\in R,s.t.\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,s.t.\forall x\in (x_0,x_0+\delta):|f(x)-B|<\varepsilon\),则称\(B\)是\(f\)在\(x_0\)的右极限,记作\(\lim\limits_{x\to x_0+0}f(x)=f(x_0+)=B\)
同理可以定义左极限
定理 3.1.6¶
- \(\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)\)存在且有限的充要条件是:\(\forall\varepsilon>0,\exists X>0,s.t.\forall x_1,x_2>X:|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon\)
连续函数¶
定义 3.2.1¶
- 设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)的某个去心邻域内有定义,如果\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\),那么称函数\(f(x)\)在点\(x_0\)连续
- 也就是说,函数在\(x_0\)连续,当且仅当\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\)
定义 3.2.2¶
- 若函数\(f(x)\)在开区间\(I\)上每一点都连续,则称\(f(x)\)在\(I\)上连续
定义 3.2.3¶
-
若函数\(\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)=f(x_0)\),则称\(f(x)\)在\(x_0\)处左连续
- \(i.e.\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,s.t.\forall x\in (x_0-\delta,x_0):|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\)
定义 3.2.4¶
-
若函数\(f(x)\)在\((a,b)\)上连续,而且在\(a\)右连续,\(b\)左连续,则称\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续
闭区间比开区间多了两个端点的单侧连续性
不连续点¶
- 第一类间断点:函数的左右极限都存在但是不相等:\(f(x)=sign(x)\)
- 第二类间断点:函数的左右极限至少有一个不存在:\(f(x)=\frac{1}{x}\)
- 第三类间断点(可去间断点):函数的左右极限都存在且相等, 但是函数值与极限值不相等:\(f(x)=\frac{\sin x}{x}\)
Riemann 函数¶
- \(R(x)\)在任一点极限存在且极限值是\(0,i.e.\)任何无理点是连续的,任何有理点是第三类不连续点(可去间断点)
定理 3.2.1(反函数存在性定理)¶
- 若函数\(y=f(x),x\in D_f\)是严格单调增加(减少)的,那么他的反函数\(y=f^{-1}(x)\)存在而且也是严格单调增加(减少)的
定理 3.2.2(反函数连续性定理)¶
- 若函数\(y=f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续且严格单调增加,\(f(a)=\alpha,f(b)=\beta\),那么他的反函数\(x=f^{-1}(y)\)在区间\([\alpha,\beta]\)上连续且严格单调增加
定理 3.2.3(复合函数连续性定理)¶
- 若函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)连续,\(z=\varphi(y)\)在点\(y_0=f(x_0)\)处连续,那么复合函数\(z=\varphi(f(x))\)在点\(x_0\)处连续
定理 3.2.4(初等函数的连续性)¶
- 一切初等函数在其定义区间上连续
note¶
- \(|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leq \sqrt{|x-y|}\)
无穷小量与无穷大量的阶¶
定义 3.3.1¶
-
若\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0\),则称\(x\to x_0\)时函数\(f(x)\)是无穷小量
- 高阶无穷小:若\(f,g\)在\(x\to x_0\)时都是无穷小量,且\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0\),则称\(f(x)\)是\(g(x)\)的高阶无穷小 记作\(f(x)=o(g(x))(x\to x_0)\)
-
同理定义同阶无穷小(极限是非零常数)和等价无穷小(极限是1)
-
\(O\)和\(o\):\(O\)表示有界量,比如\(f(x)=O(g(x)):\frac{f(x)}{g(x)}=A<\infty\),但是\(o\)表示无穷小量(趋近于0):\(f(x)=o(g(x)):\frac{f(x)}{g(x)} \to 0)\)
- \(O(1)\)表示有界量,\(o(1)\)表示无穷小量,所以常用的实际上是\(o:\sin x\sim x+o(1)\)
定义 3.3.2¶
-
若\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty\),则称\(x\to x_0\)时函数\(f(x)\)是无穷大量
- 无穷大做比较的时候使用\(O\),因为有界量和无穷比起来太小了,无穷小量就更不用说了
定理 3.3.1¶
-
设\(u(x),v(x),w(x)\)在\(x_0\)的某个去心邻域\(U\)中定义,且\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{v(x)}{w(x)}=1,i.e.v(x)\sim w(x)\),那么
- 1.\(\lim\limits_{x\to x_0}u(x)v(x)=A\)时:\(\lim\limits_{x\to x_0}u(x)w(x)=A\)
- 2.\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{u(x)}{w(x)}=A\)时:\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{u(x)}{v(x)}=A\)
note¶
- \((1+x)^\alpha \sim 1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2)\)
- \(x^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}\ln{x}}\)
闭区间上的连续函数¶
定理 3.4.1(有界性定理)¶
- \(f\in C([a,b])\Rightarrow f\in B([a,b])\)
定理 3.4.2(最值定理)¶
- \(f\in C([a,b])\Rightarrow f\)在\([a,b]\)上有最大值和最小值
定理 3.4.3(零点存在性定理)¶
- \(f\in C([a,b]),f(a)f(b)<0\Rightarrow\exists\xi\in(a,b),s.t.f(\xi)=0\)
定理 3.4.4(介值定理)¶
- \(f\in C([a,b])\Rightarrow\forall\mu\in[m,M],m,M=\min f(x),\max f(x),\exists\xi\in(a,b),s.t.f(\xi)=\mu\)
定义 3.4.1(一致连续性)¶
-
\(I\subset D_f:\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,s.t.\forall x_1,x_2\in I,|x_1-x_2|<\delta:|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon\),则称\(f(x)\)在\(I\)上一致连续
-
\(f\)在\(I\)上一致连续\(\Rightarrow f\)在\(I\)上连续
-
一致连续说明\(\Delta f\)会被\(\Delta x\)控制住
-
定理 3.4.5¶
-
\(X\subset D_f:\)则\(f(x)\)在\(X\)上一致连续\(\iff\forall\{x_n\},\{y_n\}\in 2^X,\)且\(\lim\limits_{n\to\infty}(x_n-y_n)=0\),有\(\lim\limits_{n\to\infty}(f(x_n)-f(y_n))=0\)
- 常用来证明某个函数不一致连续,类似定理3.1.5(Heine定理)
定理 3.4.6(Cantor 定理)¶
-
若\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续,则\(f(x)\)在\([a,b]\)上一致连续
- 闭区间上的连续函数一致连续
定理 3.4.7¶
-
\(f\in C((a,b))\)则,\(f\)在\((a,b)\)上一致连续的充要条件是\(f(a+),f(b-)\)存在(有限)
- 无限开区间时,必要性不成立,比如\(f(x)=\sin x,x\in R\),一致连续但是\(f(\pm\infty)\)不存在
note¶
- 一致连续函数之和一致连续,积则不一定