数列极限¶
实数系连续性¶
定理 2.1.1¶
确界存在原理-实数系连续性定理
- 非空有上界的数集必有上确界,非空有下界的数集必有下确界
定理 2.1.2¶
- 非空有界数集的上(下)确界唯一
note:Dedekind分割原理
定义 1:设两个非空有理集合\(A,B\)满足如下条件:\(Q=A\cup B,\forall a\in A,b\in B,a<b\),则称\(A,B\)为\(Q\)的一个切割,记为\(A/B\)
从逻辑上讲,任何一个切割只有以下四种情况
1.集合 A 有最大数 a,集合 B 无最小数
2.集合 A 无最大数,集合 B 有最小数b
3.集合 A 无最大数,集合 B 无最小数
4.集合 A 有最大数a,集合 B 有最小数b
对于情况 4 是不可能的,如果不然(a+b)/2 是介于 a,b 之间的有理数,与 A/B 是有理数的分割矛盾
对于情况 1,2,他们确定了两个有理数,对于情况 3,他们没有确定有理数,引进无理数的概念
定义 2:设 A/B 是有理数集的一个切割,若 A 没有最大数,B 没有最小数,那么就称 A/B 确定了一个无理数 c,c 大于 A 中任何一个有理数,小于 B 中任何一个有理数
定义 3:有有理数和定义 2 确定的全体无理数构成了实数集\(R\)
Dedekind 切割定理:设 A/B 是实数集\(R\) 的一个切割,则或者 A 有最大数或者 B 有最小数
这里是对 R 切割,和 Q 切割不同.证明可用反证法,注意这里的或者是排中的
由 Dedekind 切割定理可以证明确界存在定理: 对非空有上界的数集 S,设 A 是 S 的上界组成的集合,B 是 A 的补,那么或者 B 有最大数,或者 A 有最小数(确界存在)
证明 B 没有最大数:如果有b 是 B 的最大数,由于 b 不是 S 的上界,从而存在 s\in S, s>b,那么 s 一定在 B 中,与 b 是 B 的最大数矛盾
数列极限¶
定义 2.2.1¶
- 设\(\{x_n\}\)是一个数列,如果\(\exists a\in R,s.t.\forall \varepsilon>0,\exists N>0,s.t.\forall n>N\) ,有\(|x_n-a|<\varepsilon\),那么称\(a\)是数列\(\{x_n\}\)的极限, 记为\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a\),或者\(x_n\to a(n\to\infty)\)
定义:无穷小量¶
- 称极限为 0的数列为无穷小量,,无穷小量是一个变量,\(\{0,0,\cdots,0\}\)是一个特殊的无穷小量, 由定义\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a\iff \{x_n-a\}\)是无穷小量
定理 2.2.1¶
- 收敛数列极限唯一
定理 2.2.2¶
-
收敛数列必有界
有界是指有上界和下界
定理 2.2.3¶
- 设数列\(\{x_n\},\{y_n\}\)分别收敛到\(a,b\),且\(a<b\)那么 \(\exists N\in N^+,\forall n>N:x_n<y_n\)
推论¶
- 收敛数列有保号性
定理 2.2.4¶
-
三个数列\(\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}\),如果\(\exists N\in N^+,s.t.\forall n>N,x_n\leq y_n\leq z_n\),且\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}z_n=a\),那么\(\lim\limits_{n\to\infty}y_n=a\)
夹逼准则
定理 2.2.5¶
-
数列极限的四则运算
-
设\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a,\lim\limits_{n\to\infty}y_n=b\),则
- \(\lim\limits_{n\to\infty}(\alpha x_n\pm \beta y_n)=\alpha a+\beta b\)
- \(\lim\limits_{n\to\infty}x_ny_n=ab\)
- \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=\frac{a}{b}(b\neq 0)\)
note¶
- \(\sqrt{n^2+n}=\sqrt{(n+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}}<n+\frac{1}{2}\)
- \(\sqrt{n^2+n}-n<\frac{1}{2}\)
- \(\sqrt{m+n}<\sqrt{m}+\sqrt{n}\)
- 平均值不等式:\((n!a_1a_2\cdots a_n)^{\frac{1}{n}}\leq \frac{1}{n}(a_1+2a_2+\cdots na_n)\)
无穷大量¶
定义2.3.1¶
-
\(\forall G>0,\exists N>0,s.t.\forall n>N,|x_n|>G\),称\(\{x_n\}\)为无穷大量,记为\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\infty\)
- 无穷大量说的是模无穷大,至于正负是用正(负)无穷大量描述的
定理 2.3.1¶
- 设\(x_n\neq 0\),则\(\{x_n\}\)为无穷大量\(\iff\{\frac{1}{x_n}\}\)为无穷小量
定理 2.3.2¶
- 设\(\{x_n\}\)为无穷大量,若\(\exists N>0,s.t.\forall n>N,y_n\geq\delta>0\),则\(\{x_ny_n\}\)为无穷大量
定义 2.3.2¶
-
如果数列满足\(x_n\leq x_{n+1},n\in N\),那么称\(\{x_n\}\)为单调增加数列,进一步如果\(x_n<x_{n+1},n\in N\),那么称\(\{x_n\}\)为严格单调增加数列
- 同理可以定义单调减少数列和严格单调减少数列
定理 2.3.3 (Stolz定理)¶
-
如果\(\{y_n\}\)为严格单调增加的正无穷大量,并且有\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-u_{n-1}}=a\) ,\(a\)是常数或者\(±\infty\),那么\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=a\)
-
这里\(a\)是无穷的时候,必须指定是正无穷还是负无穷,如果是跳跃的那么\(Stolz\)定理不适用
- 考虑例子:\(x_n=(-1)^nn,y_n=n\),显然\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\lim\limits_{n\to\infty}(-1)^n(2n-1)=\infty\),但是\(\frac{x_n}{y_n}=(-1)^n\)不存在
-
如果\(\lim\limits\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}\)极限不存在也不能说明\(\lim\frac{x_n}{y_n}\)不存在
- 考虑例子:\(x_n=1-2+\cdots+(-1)^nn,y_n=n\),显然\(\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\frac{(-1)^nn}{2n-1}\) 极限不存在,但是\(\frac{x_n}{y_n} =\frac{1/4-(n/2+1/4)(-1)^{n+1}}{n^2}\to 0\)
-
Stolz定理只能是在极限\(\lim\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}\exists\)时去反推\(\lim\frac{x_n}{y_n}\)
-
收敛准则¶
定理 2.4.1¶
- 单调有界数列必收敛
重要极限¶
- \(Euler\)常数\(\gamma=\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n)\)
定义 2.4.1(闭区间套)¶
-
设\(\{[a_n,b_n]\}\)是一列闭区间,且满足\(a_{n+1}\leq a_n\leq b_n\leq b_{n+1}\)
-
且\(\lim\limits_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0\),那么称\(\{[a_n,b_n]\}\)为闭区间套
定理 2.4.2(闭区间套定理)¶
-
若\(\{[a_n,b_n-a_n]\}\)构成一个闭区间套,那么\(\exists !\xi\in R,s.t.\xi\in[a_n,b_n],\forall n\in N\)
- 若改成开区间:只有在\(\{(a_n,b_n)\},a_1<a_2<\cdots<a_n<\cdots<b_n<\cdots <b_1\)的情况下成立,不能取等号,否则如\(\{(0,\frac{1}{n})\}_{n=1}^\infty\)就是一个反例
定理 2.4.3¶
-
实数集\(R\)不可列
- 如何用闭区间套定理证明实数集不可列?
定义 2.4.2¶
- 设\(\{x_n\}\)是一个数列,而\(n_1,n_2,\cdots\)是一个递增的正整数数列,那么称\(\{x_{n_k}\}\)为\(\{x_n\}\)的一个子列
定理 2.4.4¶
- 设\(\{x_n\}\)收敛到\(a\),那么其任一子列\(\{x_{n_k}\}\)也收敛到\(a\)
定理 2.4.5(Bolzano-Weierstrass定理)¶
- 有界数列必有收敛子列
定理 2.4.6¶
- 若\(\{x_n\}\)是无界数列,那么存在子列\(\{x_{n_k}\}\)也是无界的
定义 2.4.3(基本列)¶
- 对数列\(\{x_n\},\)若\(\forall\varepsilon>0,\exists N>0,s.t.\forall n,m>N,|x_m-x_n|<\varepsilon\),则称数列是基本数列(基本列,Cauchy 列)
定理 2.4.7(Cauchy 收敛准则)¶
-
数列\(\{x_n\}\)收敛的充要条件是数列是基本列
-
\(Cauchy\)收敛准则表明,由实数构成的基本数列一定收敛到某个实数,这一性质称为实数系的完备性,值得注意的是有理数集不具有完备性,如数列\((1+\frac{1}{n})^n\)每一项都是有理数,但是收敛到无理数\(e\)
- 如何证明\(e\notin Q\)?
-
定理 2.4.8¶
-
实数系完备性等价于实数系连续性
- 确界存在定理
- 有界收敛定理
- 闭区间套定理
- Bolzano-Weierstrass定理
-
Cauchy 收敛准则
- 以上定理都称为实数系基本定理