集合与映射¶
定理 1.1.1¶
- 可列个可数集之并也是可数集
证明:对角线法则
定理 1.1.2¶
- 有理数集\(Q\)是可列集
依定理 1.1.1 只需证(0,1] 间有理数可列,任意\(r\in Q\cap (0,1],\exists p,q\in N^+,s.t.\;r=\frac{p}{q}\), \(q=n\)的既约分数最多有\(n-1\) 个,从而很容易排成一列
映射与函数¶
定义 1.2.1¶
- 设\(A,B\)为两个集合,若存在一个从\(A\)到\(B\)的对应关系\(f\),s.t.\(\forall a\in A,\exists !b\in B\)与之对应, 则称\(f\)为从\(A\)到\(B\)的映射,记作\(f:A\to B\),并称\(A\)为定义域,\(B\)为值域,记作\(f(A)=B\)
定义 1.2.2¶
- 设\(f:A\to B\),若\(f(A)=B\),则称\(f\)为从\(A\)到\(B\)的满射. 若\(\forall a_1,a_2\in A,s.t.\;a_1\neq a_2,f(a_1)\neq f(a_2)\),则称\(f\)为单射. 若\(f\)既是满射又是单射,则称\(f\)为从\(A\)到\(B\)的一一映射,或双射.
note:只要\(f:A\to B\)是单射,那么存在逆映射\(f^{-1}:f(A)\to A\),且\(f^{-1}\)一定是双射
定义 1.2.3¶
- 若存在常数\(m,M\),s.t.\(\forall x\in A,m\leq f(x)\leq M\),则称\(f\)在\(A\)上有界,并称\(m,M\)为\(f\)在\(A\)上的下界和上界
定义 1.2.4-1.2.6¶
- 单调性,奇偶性,周期性
定理 1.2.1¶
- 三角不等式:\(\forall a,b\in R,||a|-|b||\leq |a+b|\leq |a|+|b|\)
定理 1.2.2¶
设\(a_1,a_2,\cdots,a_n\in R,\)则称\(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\)为算数平均数,称\(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\)为几何平均数, 称\(n/(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n})\)为调和平均数,则有 \(\(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\geq n/(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n})\)\)