Cayley-Hamilton

• Cayley-Hamilton 定理: 矩阵的特征多项式是它的一个零化多项式

• 设 \(A\) 是 \(n\) 阶可逆矩阵,则存在 \(n-1\) 次多项式 \(g(x),s.t. A^{-1} = g(A)\), 存在 \(n-1\) 次多项式 \(h(x),s.t. A^* = h(A)\)

• 令 \(f(\lambda) = \lambda^n + a_1\lambda^{n-1} + \cdots + a_{n-1}\lambda + a_n\) 是 \(A\) 的特征多项式, 由 \(a_n = (-1)^n\det A\neq 0\) ,得到 \(A^{-1} = -\frac{1}{a_n} (A^{n-1} + a_1 A^{n-1} + \cdots + a_{n-1} I_n)\)

• 当 \(A\) 可逆的时候,如上有 \(A^* = (-1)^{n-1}(A^{n-1} + a_1 A^{n-1} + \cdots + a_{n-1} I_n)\)

  • 当 \(A\) 奇异,取一列 \(\{t_k\}\in Q,s.t.t_k\to 0\) 则

  • \[(t_kI+A)^* = f_{t_k}(\lambda) = (-1)^{n-1}( (A+t_kI)^{n-1} + a_1 (A+t_kI)^{n-1} + \cdots + a_{n-1} I_n)\]

  • 令 \(k\to\infty\) ,利用多项式的连续性就得到了 \(A^* = h(A)\)

• \(AX=XB\) 型方程的解

• 设 \(A\) 是 \(n\) 阶矩阵, \(B\) 是 \(m\) 阶矩阵, 若 \(A,B\) 没有相同的特征值,则 \(AX=XB\) 只有零解

  • 令 \(f(\lambda)=|\lambda I-A|,\) 则 \(O = f(A)X=Xf(B)\) 又 \(f(B)\neq O\),所以 \(X=O\)