线性函数¶
[!NOTE] 这一章参考浙大高代讲义
线性函数与对偶空间¶
定义 8.1.1¶
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设 \(V\) 是数域 \(F\) 上的线性空间, \(f:V\to F\), 若
- \(\forall \alpha, \beta\in V, k\in F\)
- \(f(\alpha+\beta)=f(\alpha)+f(\beta)\)
- \(f(k\alpha)=kf(\alpha)\)
- 则称 \(f\) 是 \(V\) 上的一个 线性函数
- \(\forall \alpha, \beta\in V, k\in F\)
-
将所有 \(V\) 上的线性函数组成的集合表成 \(L(V, F)\) 或 \(\text{Hom}_F(V, F)\), 称为 \(V\) 上的 线性函数空间
#### 定理 8.1.1 - 设 \(F\) 上线性空间 \(V\) 的一组基为 \(\alpha_i, i\in \Lambda\), 则映射 \(f:V\to F\) 是线性函数当且仅当 \(\exists \{a_i\}_{i\in \Lambda}\subset F\), 使得\(\forall \alpha = \sum\limits_{i\in \Lambda}k_i\alpha_i\): - \(\(f(\alpha)=\sum\limits_{i\in \Lambda}k_ia_i\)\)
-
此外 \(L(V, F)\) 与 \(F^{\Lambda}\) 同构
- \(\pi:L(V, F)\to F^{\Lambda}\), 其中 \(\pi(f)=(f(\alpha_1), f(\alpha_2), \cdots, f(\alpha_i), \cdots), i\in \Lambda\)
定义 对偶空间¶
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设 \(V\) 是数域 \(F\) 上的线性空间, \(V^*:=L(V, F)\) 称为 \(V\) 的 对偶空间
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定义线性函数组 \(\{f_i\}_{i\in \Lambda}\), 其中 \(f_i(\alpha_j)=\delta_{ij}\), 称为 \(V, (\dim V<\infty)\) 的基 \(\{\alpha_i\}_{i\in \Lambda}\) 下的 对偶基
- \(f_i(\alpha)\) 实际上就是 \(\alpha\) 在基 \(\{\alpha_i\}_{i\in \Lambda}\) 下的第 \(i\) 个坐标
定理 8.1.4¶
- \(\forall \alpha\in V:\alpha = \sum\limits_{i\in \Lambda} f_i(\alpha)\alpha_i\)
- \(\{f_i\}_{i\in \Lambda}\) 在 \(V^*\) 中线性无关
- \(\dim V < \infty\) 时
- \(\forall f\in V^*:f=\sum\limits_{i\in \Lambda}f(\alpha_i)f_i\)
- \(\{f_i\}_{i\in \Lambda}\) 是 \(V^*\) 的一组基, 从而 \(\dim V^* = \dim V\)
定理 8.1.5¶
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设 \(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n.\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\) 是 \(V\) 的两组基, 且 \(f_1, f_2, \cdots, f_n\) 和 \(g_1, g_2, \cdots, g_n\) 分别是它们的对偶基, 若从\(\vec{\alpha}\) 到 \(\vec{\beta}\) 的过渡矩阵是 \(A, i.e.:\)
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\[(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n)=(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)A\]
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那么 \(f_1, f_2, \cdots, f_n\) 到 \(g_1, g_2, \cdots, g_n\) 的过渡矩阵是 \((A^T)^{-1}, i.e.:\)
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\[(g_1, g_2, \cdots, g_n)=(f_1, f_2, \cdots, f_n)(A^T)^{-1}\]
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定义 对偶映射¶
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设 \(U, V\) 是数域 \(F\) 上的线性空间, 且 \(\varphi : U\to V\) 是线性映射, 任取 $f\in V^, $ 则 \(f\varphi: U\to V \to F \implies f\varphi\in U^*\), 称 \(\varphi^*(f) = f\varphi\) 为 \(\varphi\) 的 *对偶映射**
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\[\varphi^*:V^*\to U^*, \varphi^*(f)=f\varphi\]
性质¶
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\(U \overset{\varphi}{\to} V \overset{\psi}{\to} W\), 则
- \((\psi\varphi)^* = \varphi^*\psi^*\)
- \(I_V^* = I_{V^*}\)
定义 双对偶空间¶
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\(V^{**}:=L(V^*, F)\) 称为 \(V\) 的 双对偶空间
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\(l:V\to V^{**} , \; s.t\;.l(\alpha) = \alpha^{**}\) 其中 \(\alpha^{**}: V^*\to F, \;s.t.\; \alpha^{**}(f) = f(\alpha)\)
双线性函数¶
定义 8.2.1¶
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设 \(V\) 是数域 \(F\) 上的线性空间, 若映射 \(f:V\times V\to F\) 满足
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\(f(\alpha, k\beta_1 + l\beta_2) = k f(\alpha, \beta_1) + l f(\alpha, \beta_2)\)
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\(f(k\alpha_1+l\alpha_2, \beta) = k f(\alpha_1, \beta) + l f(\alpha_2, \beta)\)
- 则称 \(f\) 是 \(V\) 上的一个 双线性函数
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定义 8.2.2 度量矩阵¶
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类比欧式空间中内积在不同基下的度量矩阵, 定义双线性函数 \(f\) 在基 \(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\) 下的 度量矩阵 为
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\[M_\alpha (f) = (f(\alpha_i, \alpha_j))_{n\times n}\]
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若 \(\beta, \gamma\) 在基下的坐标是 \(X, Y\) 则 \(f(\beta, \gamma) = X^T M_\alpha(f) Y\)
定理 8.2.1¶
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\(V\) 上的双线性函数集与 \(F^{n\times n}\) 通过度量矩阵建立一一对应关系
- \(\pi: L(V\times V, F)\to F^{n\times n}\), 其中 \(\pi(f) = M(f)\) (取定一组基的情况下)
定理 8.2.2¶
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若基 \(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\) 到 \(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\) 的过渡矩阵是 \(P\), 即
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\[\beta = \alpha P\]
- 则有
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\[M_\beta(f) = P^T M_\alpha(f) P\]
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定义 8.2.3¶
- 双线性函数 \(f\) 的秩定义为 \(f\) 的度量矩阵的秩(不依赖基的选取, 秩是合同不变量)
定义 8.2.4¶
- 称 \(V\) 上的双线性函数 \(f\) 是 非退化 的, 若取 \(\alpha\in V, \forall \beta\in V, f(\alpha, \beta) = 0 \implies \alpha = \vec{0}\)
定理 8.2.3¶
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设 \(f\) 是数域 \(F\) 上 \(n\) 维线性空间 \(V\) 上的双线性函数, 则以下命题等价
- \(f\) 是非退化的
- \(f\) 的度量矩阵是满秩的
- 取 \(\beta\in V\) 若 \(\forall \alpha\in V, f(\alpha, \beta) = 0 \implies \beta = \vec{0}\)
定义 8.2.5¶
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若 \(f(\alpha, \beta) = f(\beta, \alpha)\), 则称 \(f\) 是 对称双线性函数
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若 \(f(\alpha, \beta) = -f(\beta, \alpha)\), 则称 \(f\) 是 反对称双线性函数
- \(\iff \forall\alpha, f(\alpha, \alpha) = 0\)
命题 8.2.1¶
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设 \(f\) 是 \(V\) 上的双线性函数, \(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\) 是 \(V\) 的一组基
- \(f\) 对称 \(\iff M_\alpha(f)\) 对称
- \(f\) 反对称 \(\iff M_\alpha(f)\) 反对称
定理 8.2.4¶
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设 \(f\) 是 \(V\) 上的对称双线性函数, 则存在一组基 \(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\) 使得 \(M_\alpha(f)\) 是对角矩阵
- 因为任取一组基 \(\beta, M_\beta(f)\) 是对称的, 从而合同于一个对角矩阵, 则通过基变换即可
定理 8.2.5¶
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若 \(f\) 是复数域上 \(n\) 维线性空间 \(V\) 上的对称双线性函数, 则存在一组基 \(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\) 使得 \(M_\alpha(f)\) 形如
\[\begin{pmatrix} E_r & \\ & O \end{pmatrix}\] -
若 \(f\) 是实数域上 \(n\) 维线性空间 \(V\) 上的对称双线性函数, 则存在一组基 \(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\) 使得 \(M_\alpha(f)\) 形如
\[\begin{pmatrix} E_r & \\ & -E_s \end{pmatrix}\]- 其中 \(r\) 是 \(M_\alpha(f)\) 的正惯性指数, \(s\) 是负惯性指数
[!NOTE] 对称双线性函数和二次型是一一对应的(因为每一个二次型和一个对称矩阵对应, 而后者对应一个对称双线性函数)
定理 8.2.6¶
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设 \(f\) 是数域 \(F\) 上 \(n\) 维线性空间 \(V\) 上的反对称双线性函数, 则存在整数 \(r\geq 0, s.t. n = 2r + s\), 且存在一组基 \(\alpha_1, \alpha_{-1}, \cdots, \alpha_r, \alpha_{-r}, \beta_1, \cdots, \beta_s, s.t.\)
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\[M(f) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & & & & & & \\ -1 & 0 & & & & & & \\ & & \ddots & & & & & & \\ & & & 0 & 1 & & & \\ & & & -1 & 0 & & & \\ & & & & & \ddots & & \\ & & & & & & 0 & \\ & & & & & & & 0 \end{pmatrix}\]
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其中 \(r\) 表示 \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\) 的个数, \(s\) 表示 \(0\) 的个数, 故 \(\text{rank}(f) = 2r\) 为偶数
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[!NOTE] \(\begin{cases} f(\alpha_i, \alpha_{-i}) = 1 & i = 1, \cdots, r \\ f(\alpha_i, \alpha_j) = 0 & i+j\neq 0 \\ f(\alpha, \beta_k) = 0 & \forall \alpha\in V, k = 1, 2, \cdots, s \end{cases}\)
推论 8.2.1¶
- 若 \(f\) 是数域 \(F\) 上 \(n\) 维线性空降上非退化的反对称双线性函数, 则 \(n\) 为偶数
欧式空间的推广¶
定义 8.3.1¶
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设 \(V\) 是数域 \(F\) 上的线性空间, \(f\) 是 \(V\) 上双线性函数, 记为 \((V, f)\)
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当 \(f\) 是非退化的, 则称 \(V\) 是 双线性度量空间
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当 \(f\) 是非退化且对称的, 则称 \(V\) 是 正交空间
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当 \(V\) 是正交空间并且 \(F=\mathbb{R}\), 则称 \(V\) 是 准欧式空间
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当 \(f\) 是非退化且反对称的, 则称 \(V\) 是 辛空间
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[!NOTE]
\[\text{辛空间} \subset \text{双线性度量空间} \subset \text{线性空间}\]\[\text{欧式空间} \subset \text{准欧式空间} \subset \text{正交空间} \subset \text{双线性度量空间}\]
[!NOTE] 以下为丘维声部分笔记
线性函数¶
定义 1¶
- 设 \(V\) 是域 \(F\) 上线性空间, 若映射 \(f:V\to F\) 满足
- \(\forall \alpha, \beta\in V, k\in F\)
- \(f(\alpha+\beta)=f(\alpha)+f(\beta)\)
- \(f(k\alpha)=kf(\alpha)\)
- 则称 \(f\) 是 \(V\) 上的一个 线性函数
- \(\forall \alpha, \beta\in V, k\in F\)
- 若 \(\dim V=n, \alpha_1, \cdots, \alpha_n\) 是 \(V\) 的一个基, 则 $\forall \alpha\in V, \exists !a_1, \cdots, a_n\in F, s.t.\alpha=a_1\alpha_1+\cdots+a_n\alpha_n, $ 从而
- \(\(f(\alpha)=a_1f(\alpha_1)+\cdots+a_nf(\alpha_n)\)\) 这称为 \(f\) 在基 \(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\) 下的 表达式
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\(\text{Hom}(V, F)\) 是 \(V\) 上的所有线性函数的集合, 称为 \(V\) 上的 线性函数空间
- 以下设 \(V\) 是 \(n\) 维的, 则 \(\text{Hom}(V, F)\) 也记为 \(V^*\), 称为 \(V\) 的 对偶空间
- \(\dim V^* = \dim V\times \dim F = n\)
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取\(V^*\ni f_i: V\to F, s.t.f_i(\alpha_j)=\delta_{ij}=\begin{cases} 1 & j=i \\ 0 & j\neq i \end{cases}\), 则 \(f_1, f_2, \cdots, f_n\) 是 \(V^*\) 的一组基, 称为 \(V\) 的基 \(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\) 的 对偶基
定理 1¶
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\(\forall \alpha\in V, s.t. \alpha = \sum\limits_{i=1}^n x_i\alpha_i\), 则 \(\alpha=\sum\limits_{i=1}^n f_i(\alpha)\alpha_i\)
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\(\forall f\in V^*, s.t. f=\sum\limits_{i=1}^n y_if_i\), 则 \(f=\sum\limits_{i=1}^n f(\alpha_i)f_i\)
定理 2¶
- 设 \(f\in V^*, \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\) 和 \(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\) 是 \(V\) 的两组基, 且满足
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\[(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n)=(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)P\]
- 若设
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\[f_1, f_2, \cdots, f_n\text{是}\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\text{的对偶基}\]
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\[g_1, g_2, \cdots, g_n\text{是}\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\text{的对偶基}\]
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- 则
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\[(g_1, g_2, \cdots, g_n)=(f_1, f_2, \cdots, f_n)(P^{-1})^T\]
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定义 2¶
- 记 \(V^*\) 的对偶空间为 \(V^{**}\), 称为 \(V\) 的 双重对偶空间
定理 3¶
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\[\alpha = \sum\limits_{i=1}^n x_i\alpha_i \overset{\sigma:V\to V^*}{\rightarrow} \sum\limits_{i=1}^n f_i\alpha_i \overset{\tau:V^*\to V^{**}}{\rightarrow} \sum\limits_{i=1}^nx_i\alpha_i^{**}:=\alpha^{**}\]
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\[\alpha^{**}(f)=(\sum\limits_{i=1}^nx_i\alpha_i^{**})(f)=\sum\limits_{i=1}^nx_i\alpha_i^{**}(f)=\sum\limits_{i=1}^nx_i\alpha_i^{**}(\sum\limits_{j=1}^nf(\alpha_j)f_j=\sum\limits_{i=1}^nx_if(\alpha_i)=f(\alpha)\]
定理 4¶
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\(V\) 到 \(V^{**}\) 的映射 \(\tau\circ\sigma:V\to V^{**}\) 不依赖基的选取, 且是 \(V\) 到 \(V^{**}\) 的一个同构映射, 这样同构映射称为 自然同构
- 于是可以把 \(\alpha\) 和 \(\alpha^{**}\) 等同起来(也就是 \(V\) 和 \(V^{**}\) 等同), 这样可以吧 \(V\) 看作 \(V^*\) 的对偶空间, 这样 \(V, V^*\) 互为对偶空间