矩阵的运算¶
矩阵的加法和数量乘法¶
- \(M_{s\times n}(K):=\{\text{数域}K\text{上}s\times n\text{阶矩阵}\}\)
- \(\forall A,B\in M_{s\times n}(K),\forall k\in K\)
- \(A=B\iff a_{ij}=b_{ij},\forall i,j\)
- \(A+B=(a_{ij}+b_{ij})_{s\times n}\)
- \(kA=(ka_{ij})_{s\times n}\)
-
\(O\)称为零矩阵，\(O_{s\times n}=(0)_{s\times n}\)
- \(M_{s\times n}(K)\)是数域\(K\)上的一个线性空间
-
矩阵乘法: \(A\in M_{s\times m}(K),B\in M_{m\times n}(K)\)
- \(AB=(c_{ij})_{s\times n},c_{ij}=\sum_{k=1}^ma_{ik}b_{kj}\)
- 不满足交换律:\(AB\neq BA\)
- 满足结合律:\(A(BC)=(AB)C\)
- 满足左(右)分配律:\(A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC\)
- 数乘的分配:\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)
- \(I_n\)称为单位矩阵，\(I_nA=A=AI_n=A\)
-
\(kAB=(kA)B=A(kB)\)
-
矩阵的转置
- \(A=(a_{ij})_{s\times n},A^T=(a_{ji})_{n\times s}\)
- \((A^T)^T=A\)
- \((kA)^T=kA^T\)
- \((A+B)^T=A^T+B^T\)
-
\((AB)^T=B^TA^T\)
-
\(A,B\in M_{n\times n}(K)\)
- \(AB=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)B=(\sum\limits_{{i=1}}^{n}b_{i1}\alpha_i,\cdots,\sum\limits_{{i=1}}^{n}b_{in}\alpha_i)\)
- 换句话说\(AB\)可以由\(A\)的列向量组线性表出,这说明\(\text{rank}(AB)\leq \text{rank}(A)\)
- 取转置就可以证明\(\text{rank}(AB)\leq \text{rank}(B)\)
定理 1 秩不等式¶
- \(\text{rank}(AB)\leq \min\{\text{rank}(A),\text{rank}(B)\}\)
-
乘积矩阵的秩不会超过因子矩阵的秩
-
\(\text{rank}(A+B)\leq \text{rank}(A)+\text{rank}(B)\)
-
和矩阵的秩不会超过两个矩阵的秩之和
-
\(\text{Sylvestor不等式}: \text{rank}(A)+\text{rank}(B) \leq \text{rank}(AB)+n\)
-
两个矩阵的秩之和不会超过乘积矩阵的秩加上矩阵的阶数
- \(\implies \text{rank}(A)+\text{rank}(B)-n \leq \text{rank}(AB) \leq \min\{\text{rank}(A),\text{rank}(B)\}\)
-
\(\text{Frobenius不等式}: \text{rank}(ABC)\geq \text{rank}(AB)+\text{rank}(BC)-n\)
- 这里 \(B\) 取 \(E\) 就得到 \(\text{Sylvestor不等式}\)
-
\(\text{rank}(A^T)=\text{rank}(A) = \text{rank}(A^TA)\)
-
\(\text{rank}(A-ABA) = \text{rank}(A)+\text{rank}(I-BA)-n\)
- \(\left.\left[\begin{array}{cc}A&\\&E_n-BA\end{array}\right.\right]\to\left[\begin{array}{cc}A&O\\\\BA&E_n-BA\end{array}\right]\to\left[\begin{array}{cc}A&A\\\\BA&E_n\end{array}\right]\to\left[\begin{array}{cc}A-ABA&O\\\\O&E_n\end{array}\right]\)
-
\(A^2=A\iff \text{rank}(A)+\text{rank}(I-A)=n\)
-
\(A^2=E\iff \text{rank}(A+I)+\text{rank}(A-I)=n\)
特殊矩阵¶
- 基本矩阵:\(E_{ij}:=\text{矩阵的}i,j\text{元是1,其余的元素都是0的矩阵}\)
- \(M_{s\times n}(K)=Span(E_{11},E_{12},\cdots,E_{1n},E_{21},\cdots,E_{sn})\)
-
\(\dim M_{s\times n}(K)=sn\)
-
对角矩阵:\(diag(a_1,a_2,\cdots,a_n):=\begin{pmatrix}a_1&0&\cdots&0\\0&a_2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&a_n\end{pmatrix}\),\(\{\text{数域}K\text{上的对角矩阵}\}\)是\(M_n(K)\)的一个子空间
-
数量矩阵:\(kI_n=\begin{pmatrix}k&0&\cdots&0\\0&k&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&k\end{pmatrix}\),定义\(KI_n:=\{kI_n|k\in K\}\)是\(M_n(K)\)的一个子空间
-
上三角矩阵:\(A:=\begin{pmatrix} a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n}\\0,a_{22},\cdots,a_{2n}\\\vdots,\vdots,\ddots,\vdots\\0,0,\cdots,a_{nn}\end{pmatrix}\),\(\{\text{数域}K\text{上的n阶上三角矩阵}\}\)是\(M_n(K)\)的一个子空间
-
下三角矩阵类似
-
初等矩阵:
- 记\(P(j,i(k)):\)为\(I\)的第\(i\)行的\(k\)倍加到第\(j\)行(或者第\(j\)列的\(k\)倍加到第\(i\)列)
- \(P(j,i(k))A\)等价于将\(A\)的第\(i\)行的\(k\)倍加到第\(j\)行
- \(AP(j,i(k))\)等价于将\(A\)的第\(j\)行的\(k\)倍加到第\(i\)行
- 记\(P(i,j):\)为\(I\)的第\(i\)行与第\(j\)行互换(或者第\(i\)列与第\(j\)列互换)
- \(P(i,j)A\)等价于将\(A\)的第\(i\)行与第\(j\)行互换
- \(AP(i,j)\)等价于将\(A\)的第\(i\)列与第\(j\)列互换
-
记\(P(i(c)):\)为\(I\)的第\(i\)行乘以\(c\)
- \(P(i(c))A\)等价于将\(A\)的第\(i\)行乘以\(c\)
- \(AP(i(c))\)等价于将\(A\)的第\(i\)列乘以\(c\)
-
对称矩阵:\(A\in M_n(K)\),\(A^T=A\),\(\{\text{数域}K\text{上的n阶对称矩阵}\}\)是\(M_n(K)\)的一个子空间
-
实对称矩阵: \(A\in M_n(\mathbb{R})\),\(A^T=A\),\(\{\text{实数域}\mathbb{R}\text{上的n阶实对称矩阵}\}\)是\(M_n(\mathbb{R})\)的一个子空间
-
斜(反)对称矩阵:\(A\in M_n(K)\),\(A^T=-A\),\(\{\text{数域}K\text{上的n阶斜对称矩阵}\}\)是\(M_n(K)\)的一个子空间
- \(\forall X\in K^n,X^TAX=\vec{0}\)
- 奇数阶反对称矩阵的行列式一定是 \(0\)
-
正交矩阵: \(A^TA=I\) 则 \(A\) 为一个正交矩阵
- 正交矩阵的特征值的模为 \(1\)
- 若 \(\det A = -1\) 则 \(-1\) 一定是 \(A\) 的特征值
- 若 \(A\) 是奇数阶的且 \(\det A = 1\), 则 \(1\) 一定是 \(A\) 的特征值
-
幂等矩阵: \(A^2=A\)
- \(A\) 是幂等矩阵 \(\iff \text{rank}(A) + \text{rank}(I-A) = n\)
-
\(A\) 的特征值只能是 \(0\) 和 \(1\)
- \(A^2X=\lambda^2X=\lambda X\implies \lambda^2=\lambda\)
-
\(A\) 相似于 \(\text{diag}(I_r,O)\)
- \(A(A-I)=O,m(\lambda)= \lambda(\lambda-1)\) 最小多项式是一次因式的乘积,从而可以对角化
-
\(\text{rank}(A)=\text{tr}(A)\)
- 秩,迹是相似不变量
可逆矩阵¶
定义 1¶
- \(A\in M_n(K)\),若\(\exists B\in M_n(K)\)使得\(AB=BA=I_n\),则称\(A\)是可逆的,并称\(B\)是\(A\)的逆矩阵,记作\(A^{-1}\)
定理 1¶
- 数域\(K\)上\(n\)阶矩阵\(A\)可逆\(\iff \text{rank}(A)=n\iff \det A\neq 0\)
- \(n=\text{rank}(I)= \text{rank}(AA^{-1})\leq \text{rank}(A)\leq n\)
-
\(\iff \text{rank}(A)=n\iff \det A\neq 0\)
- \(A \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}=diag(|A|,|A|,\cdots,|A|)\),其中\(A_{ij}\)是\(A\)的余子式,组成的矩阵称为\(A\)的伴随矩阵,记为\(A^*\),那么有\(AA^*=|A|I_n\).从而\(A^{-1}=|A|^{-1}A^*\)
-
伴随运算的性质
- \((A^*)^T = (A^T)^*\)
- \((AB)^*=B^*A^*\)
- \((A^*)^{-1}=(A^{-1})^*\)
- \((kA)^*=k^{n-1}A^*\)
- \((A^*)^*=|A|^{n-2}A\)
- ref
-
伴随矩阵的性质
- \(|A^*|=|A|^{n-1}\)
- \(\text{rank}(A^*)=\begin{cases} n & \text{rank}(A)=n \\ 1 & \text{rank}(A)=n-1 \\ 0 & \text{rank}(A)<n-1 \end{cases}\)
- 设矩阵 \(A\) 的特征值是 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\),则 \(A^*\) 的特征值 \(\lambda^*_i = \prod\limits_{j\neq i}\lambda_j\)
命题 1¶
- 设\(A,B\in M_n(K),AB=I\),则\(A,B\)可逆,并且\(A^{-1}=B,B^{-1}=A\)
命题 2¶
- \(P(j,i(k))^{-1}=P(j,i(-k))\)
- \(P(i,j)^{-1}=P(i,j)\)
- \(P(i(c))^{-1}=P(i(\frac{1}{c}))\)
命题 3¶
- \(A,B\in M_n(K)\)可逆\(\implies AB\)可逆,\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
- 可推广为\(A_1,A_2,\cdots,A_n\)可逆\(\implies A_1A_2\cdots A_n\)可逆,\((A_1A_2\cdots A_n)^{-1}=A_n^{-1}\cdots A_2^{-1}A_1^{-1}\)
命题 4¶
- \(A\in M_n(K)\)可逆\(\implies A^T\)可逆,\((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)
命题 5¶
- \(n\)阶矩阵\(A\)可逆\(\implies A\)可通过初等行变换化成单位矩阵
命题 6¶
- \(A\)可逆\(\iff \exists P_1,P_2,\cdots,P_k\)为初等矩阵,\(P_kP_{k-1}\cdots P_1A=I,\iff A=P_1^{-1}P_2^{-1}\cdots P_k^{-1}\)
命题 7¶
- 用可逆矩阵左(右)乘矩阵不改变矩阵的秩
初等变换法¶
- \((A,I)\overset{\text{初等行变换}}{\longrightarrow}(I,A^{-1})\)
矩阵的分块¶
分块矩阵的初等行变换¶
- 类似于矩阵的初等行变换
- 同样有分块的初等矩阵
- 对分块矩阵左(右)乘分块初等矩阵等价于对分块矩阵做初等行(列)变换
矩阵乘积的行列式¶
定理 1¶
- 设\(A\in M_{s\times n}(K),B\in M_{n\times s}(K)\),
- 若\(s>n,\)则\(\det(AB)=0\)
- \(\text{rank}(AB)\leq \text{rank}(A)\leq n<s\),则\(AB\)不满秩
- 若\(s=n\),则\(\det(AB)=\det(A)\det(B)\)
- \(\begin{pmatrix} I & -A \\ O & I \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & O \\ I & B \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} O & -AB \\ I & B \end{pmatrix}\),由于矩阵的初等行变换不改变矩阵的行列式,所以\(\det \begin{pmatrix} A & O \\ I & B \end{pmatrix} = \det A\det B=\det AB=(-1)^{n^2+n}\det AB=\det\begin{pmatrix} O & -AB \\ I & B \end{pmatrix}\)
- 若\(s<n,\)则\(\det AB=\sum\limits_{1\leq v_1 <v_2<\cdots <v_s\leq n}A\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & s \\ v_1 & v_2 & \cdots & v_s \end{pmatrix} B\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & \cdots & v_s\\1 & 2 & \cdots & s \end{pmatrix}\)