线性空间¶
- 向量空间\(K^n\):
- 数域\(K\), \(n\in N^*\), 令\(K^n=\{(x_1, x_2, \cdots, x_n)|x_i\in K, i=1, 2, \cdots, n\}\), 称为\(n\)维向量空间
- 在\(K^n\)中定义加法和数乘运算
- 加法:\((x_1, x_2, \cdots, x_n)+(y_1, y_2, \cdots, y_n)=(x_1+y_1, x_2+y_2, \cdots, x_n+y_n)\)
- 数乘:\(k(x_1, x_2, \cdots, x_n)=(kx_1, kx_2, \cdots, kx_n)\)
- 运算法则
- 加法交换律:\(\alpha+\beta=\beta+\alpha\)
- 加法结合律:\((\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)\)
- 加法单位元:\(\exists 0\in K^n, \forall \alpha\in K^n, \alpha+0=\alpha\)
- 加法逆元:\(\forall \alpha\in K^n, \exists -\alpha\in K^n, \alpha+(-\alpha)=0\)
- 乘法单位元:\(1\alpha=\alpha\)
- 数乘结合律:\((kl)\alpha=k(l\alpha)\)
- 数乘分配律:\(k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta\)
- 数乘分配律:\((k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha\)
-
以上定义的有度量的线性空间实际上是基于数的, 数的加法和数乘就是按通常所认为的定义的, 但是实际上线性空间中的元素不一定是数, 以下给出最基本的定义:
- 映射:设\(X\)和\(Y\)是两个集合, 如果存在一个规则\(f\), 使得对于\(X\)中的每一个元素\(x\), 都有唯一的元素\(y\)与之对应, 则称\(f\)是从\(X\)到\(Y\)的映射, 记作\(f:X\to Y\)
- 单射:如果对于\(X\)中的每一个元素\(x\), 都有唯一的元素\(y\)与之对应, 则称\(f\)是从\(X\)到\(Y\)的单射
- 满射:如果对于\(Y\)中的每一个元素\(y\), 都有唯一的元素\(x\)与之对应, 则称\(f\)是从\(X\)到\(Y\)的满射
- 双射:如果\(f\)是单射和满射, 则称\(f\)是从\(X\)到\(Y\)的双射
- 定义 1 : 非空集合\(S\)上的一个代数运算是指\(S\times S\to S\)的一个代数运算
-
线性空间:设\(V\)是一个非空集合, \(K\)是一个数域, 如果在\(V\)上有一个称为加法的运算\(V\times V\to V:(\alpha, \beta)\to \alpha+\beta, K, V\)之间有一个称为数乘的运算:\(K\times V\to V:(k, \alpha)\to k\alpha\), 并且满足以下八条运算法则:
- 加法交换律:\(\alpha+\beta=\beta+\alpha\)
- 加法结合律:\((\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)\)
- 加法单位元:\(\exists \vec{0}\in V, \forall \alpha\in V, \alpha+\vec{0}=\alpha\)
- 加法逆元:\(\forall \alpha\in V, \exists -\alpha\in V, s.t.\;\alpha+(-\alpha)=\vec{0}\)
- 乘法单位元:\(1\alpha=\alpha\)
- 数乘结合律:\((kl)\alpha=k(l\alpha)\)
- 数乘分配律:\(k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta\)
- 数乘分配律:\((k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha\) 那么\(V\)称为数域\(K\)上的线性空间, 简称线性空间(注意加法单位元取自于\(V\), 乘法单位元取自于\(K\))
n 维向量空间¶
定义 1¶
- 如上定义, 线性空间是一个集合, 在这个集合中有两种运算, 一种是加法, 一种是数乘, 这两种运算满足八条运算法则, 这个集合就是线性空间
ex:线性空间的例子¶
- 几何空间\(R^3\):以\(O\)为起点的向量
- \(K^n=\{(x_1, x_2, \cdots, x_n)|x_i\in K, i=1, 2, \cdots, n\}\)
- 非空集合\(X\)到实数集\(R\)上的所有实值函数的集合构成线性空间:
- \(f, g\in X\to R\), 定义加法和数乘运算如下:
- \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)
- \((kf)(x)=kf(x)\)
- 且定义\(0\)元为\(0(x)=0\)
- 乘法单位元为\(1(x)=1\)
- 那么\(X\)是数域\(R\)上的一个线性空间
线性空间的性质¶
- \(V\)是数域\(K\)上的线性空间, 则:
- 加法单位元唯一
- 每个\(\alpha\in V\)的负元唯一
- \(0\alpha=\vec{0}, \forall \alpha\in V\)
- \(k\vec{0}=\vec{0}, \forall k\in K\)
- 若\(k\alpha=\vec{0}\), 则\(k=0\)或\(\alpha=\vec{0}\)
- \((-1)\alpha=-\alpha\)
线性子空间¶
定义 1¶
- 设\(V\)是数域\(K\)上的线性空间, \(U\subset V\), 如果\(U\)对于\(V\)中定义的加法和数乘也构成线性空间, 则称\(U\)是\(V\)的线性子空间, 简称子空间
- ex:过原点的平面是\(R^3\)的子空间, 不过不过原点的平面不是\(R^3\)的子空间
定理 1¶
- \(U\)是数域\(K\)上的线性空间\(V\)的子空间\(\iff U\)对于\(V\)中定义的加法和数乘封闭
- 只需要证明对于加法和数乘封闭即可证明一个子空间是线性空间
线性组合¶
- 记\(W=\{k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_s|k_i\in K, \alpha_i\in V, i=1, 2, \cdots, s\}\), 称\(W\)是向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\)的线性组合, 则\(W\)是\(V\)的子空间, 称为由向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\)生成的子空间, 记作\(W=\text{span}(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s)\)或者\(<\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s>\)
线性表出¶
- \(\beta\in W\iff\exists k_1, k_2, \cdots, k_s\in K, s.t.\;\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_s\)称\(\beta\)可以由向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\)线性表出
数域\(K\)上的\(n\)元线性方程组¶
- 记\(\alpha_i=(a_{1i}, a_{2i}, \cdots, a_{ni})^T, i=1, 2, \cdots, n, \beta=(b_1, b_2, \cdots, b_n)^T\), 则线性方程组\(x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=\beta\)有解\(\iff \beta\)可以由向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\)线性表出\(\iff\beta\in \text{span}(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)\)
- 因此我们研究\(\text{span}(\alpha)\)的结构
共线¶
- 向量\(\alpha, \beta\)共线\(\iff\exists, k, l\in R.k, l\text{不全为}0, s.t.\;k\alpha+l\beta=\vec{0}\)
- 向量\(\alpha, \beta\)不共线:\(k\alpha+l\beta=\vec{0}\iff k, l=0\)
定义 1¶
- 线性相关:对于数域\(K\)上的线性空间\(V\)中的向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\), 如果存在\(K\)中不全为0 的实数\(k_1, k_2, \cdots, k_s, s.t.\;k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=0\), 那么称向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\)线性相关
- 线性无关:如果\(k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=0\Rightarrow k_1=k_2=\cdots=k_s=0\), 那么称向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\)线性无关
定理 2¶
- 齐次线性方程组:\(x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=0\)有非零解\(\iff\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\)线性相关
- 只有零解\(\iff\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\)线性无关
线性相关和线性无关的向量组¶
用\(\alpha\)表示向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\), 一些明显的记号就不定义了, 比如\(\alpha-\alpha_1\)就是\(\alpha\)去掉\(\alpha_1\)的向量组
- \(\alpha_0\)线性相关\(\iff\alpha_0 = \vec{0}\)
- 向量组的部分组如果线性相关, 则整个向量组线性相关
- 向量组线性无关, 那么任一部分组都是线性无关的(上一点的逆否命题)
- 向量组线性无关, 那么其延伸组也线性无关
- 含有零向量的向量组线性相关
- 向量组线性相关\(\iff\exists\alpha_i\in\alpha, s.t.\;\alpha_i\in \text{span}(\alpha-\alpha_i)\)
命题 1¶
- 设\(\beta\in \text{span}(\alpha)\), 且表出方式唯一, 则\(\alpha\)线性无关
命题 2¶
- 若\(\alpha\)线性无关, 但是\(\alpha, \beta\)线性相关, 那么\(\beta\in \text{span}(\alpha)\)
极大线性无关组, 向量组的秩¶
-
向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\)中的向量组\(\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_r}\)称为原向量组的 一个 极大线性无关组, 如果\(\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_r}\)线性无关, 但是从其余向量(如果有)中任取一个添进来得到的新的部分组都是线性相关的
-
\(\text{span}(\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_r})=\text{span}(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s)\)换句话说, 原向量组的极大线性无关组和原向量组生成的子空间是相等的
- 从而原向量组的任何一个极大线性无关组都是等价的
- 线性表出是一个等价关系:满足反身性, 对称性, 传递性
命题 1¶
- 设向量组\(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_r\), 可以由\(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\)线性表出并且有\(r>s\), 则\(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_r\)一定线性相关
推论 1¶
- 设向量组\(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_r\), 可以由\(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\)线性表出, 如果\(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_r\)线性无关, 则\(r\leq s\)(逆否命题)
推论 2¶
- 等价的线性无关组所含向量个数相等
推论 3¶
- 向量组的所有极大线性无关组所含的向量个数相等
定义 1¶
- 向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\)的极大线性无关组所含向量个数称为向量组的秩, 记作\(\text{rank}(\alpha)=rank\{\alpha_1, \cdots, \alpha_s\}\), 只有零向量的向量组的秩为0
命题 2¶
- 向量组线性无关的充要条件是向量组的秩等于向量组的向量个数
命题 3¶
- 如果向量组\(\alpha\)可以由向量组\(\beta\)线性表出\(\iff \text{rank}(\alpha)\leq \text{rank}(\beta)\)
推论 1¶
- 等价的向量组秩相等
基, 维数¶
- \(V\)是数域\(K\)上的线性空间
- \(V\)的维数记作\(\dim_K V\), 或者\(\dim V\), 如果\(V\)是无限维的, 记作\(\dim V=\infty\), 特别的\(\dim \{\vec{0}\}=0\)
定义 1¶
- \(V\)的一个有限子集\(\{v_1, v_2, \cdots, v_s\}\)线性相关\(\iff\)向量组\(\{v_1, v_2, \cdots, v_s\}\)线性相关
- \(V\)的一个无限子集\(S\)线性相关\(\iff\)存在有限子集\(\{v_1, v_2, \cdots, v_s\}\subset S\), 使得向量组\(\{v_1, v_2, \cdots, v_s\}\)线性相关
- 否则就是线性无关
- 空集定义成线性无关
定义 2¶
- \(V\)的一个子集\(S\)如果满足
- \(S\)线性无关
- \(V\)中任一向量都可以由\(S\)中有限个向量线性表出 那么称\(S\)是\(V\)的一个基, 简称基
- \(\{\vec{0}\}\)的一个基是\(\emptyset\)
定理 1¶
- \(V\)一定有基
定义 3¶
- 如果\(V\)有一个基是有限子集, 那么称\(V\)是有限维的, 否则称\(V\)是无限维的
定理 2¶
- 若\(V\)是有限维的, 则\(V\)任意两个基所含向量个数相等
推论 1¶
- 无限维线性空间的基都是无限集
命题 1¶
- 如果\(\dim V=n\), 那么\(V\)的任何\(n+1\)个向量一定线性相关
定义 4 (坐标)¶
-
设\(\dim V = n, \(向量组\)\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\)是\(V\)的一个基, 则\(V\)中任一向量\(\beta\)可以唯一的表示为\(\beta=a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+\cdots+a_n\alpha_n\), 称\((a_1, a_2, \cdots, a_n)^T\)是\(\beta\)在基\(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\)下的坐标.
-
称\(K^n\)的基\(\varepsilon_i=(0, 0, \cdots, 1, \cdots, 0)^T, i=1, 2\cdots, n\)(第\(i\)个分量为 1)为\(K^n\)的标准基
命题 2¶
- 若\(\dim V=n\), 则\(V\)中任何\(n\)个线性无关的向量都是\(V\)的一个基
命题 3¶
- 若\(\dim V=n\), 如果\(V\)中每一个向量组可以由向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\)线性表出(这里没说它们是线性无关的), 那么\(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\)是\(V\)的一个基
命题 2, 3 告诉我们在知道维数的情况下找V 的一个基只需要满足基定义中的一条性质即可¶
命题 4¶
- 设\(\dim V=n\), 则\(V\)的任何一个线性无关组可以扩充为\(V\)的一个基
命题 5¶
- 设\(\dim V=n\), \(W\)是\(V\)的一个子空间, 则\(\dim W\leq \dim V=n\), 若\(\dim W=\dim V= n\), 则\(W=V\)
定义 5(极大线性无关集)¶
- \(V\)的一个子集\(S\), 且线性无关
- \(\forall\beta\notin S\)(如果有), 则\(S\cup\{\beta\}\)线性相关, 那么\(S\)是\(V\)的一个极大线性无关集
- \(S\)是\(V\)的基\(\Rightarrow S\)是\(V\)的一个极大线性无关集
- 当\(V\neq\{\vec{0}\}\), \(S\)是\(V\)的极大线性无关集\(\Rightarrow S\) 是\(V\)一个基
命题 6¶
- \(\dim \text{span}(\alpha) = \text{rank}(\alpha)\)
命题 7¶
-
\(\text{span}(\alpha) = \text{span}(\beta)\iff \alpha, \beta\) 等价
-
注意\(\text{span}(\alpha)=\text{span}(\beta)\)是\(\text{rank} (\alpha)=\text{rank}(\beta)\)的充分不必要条件
- 比如\(\alpha, \beta\)分别取三维直角坐标系中的\(\{\vec{i}, \vec{j}\}, \{\vec{j}, \vec{k}\}\)
矩阵的秩¶
定理 1¶
- 阶梯型矩阵\(A=(a_{ij})_{rs}\), 记\(A\)的行向量组为\(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r\), 列向量组为\(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s\), 那么有:\(\dim \text{span}(\alpha)=\text{rank}(\alpha)=rank(A)=rank(\beta)=\dim \text{span}(\beta)\)
定理 2¶
- 矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩
定理 3¶
- 矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性, 从而不改变矩阵的列秩
定理 4¶
- 任一矩阵的行秩等于列秩
定义 1¶
- 矩阵的秩是指矩阵的行秩或者列秩, 统称为矩阵的秩, 记作\(\text{rank}(A)\)
推论 1¶
- 矩阵\(A\)经过初等行变换变j阶梯型矩阵\(J\), 那么\(\text{rank}(A)=J\)的非零行数目
- 并且\(J\)的列向量组的部分组和\(A\)对应的列向量组的部分组的线性相关性是一致的
推论 2¶
- 矩阵转置不改变矩阵的秩
推论 3¶
- 初等列变换不改变矩阵的秩
定理 5¶
- 非零矩阵\(A\)的秩等于\(A\)的非零子式的最高阶数
推论 4¶
- \(\text{rank}(A)=r\), 则\(A\)的不为零的\(r\)阶子式所在的列(行)是\(A\)的列(行)向量组的一个极大线性无关组
定义 2¶
- 若\(n\)阶矩阵\(A\)的秩等于\(n\), 则称\(A\)是满秩的(满秩矩阵)
推论 5¶
- \(n\)阶矩阵\(A\)满秩\(\iff \det A\neq 0\)
线性方程组有解判定定理¶
定理 1¶
- 数域\(K\)上\(n\)元线性方程组\(AX=B\)有解\(\iff \text{rank}(A|B)=\text{rank}(A)\), 也就是增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩
- 有解的时候
- \(\text{rank}(A) = n\)有唯一解
- \(\text{rank}(A) < n\)有无穷多解
- 特别的对齐次线性方程组:\(\text{rank}(A)=0\)则只有零解, \(rank(A) < n\)有无穷多个解
齐次线性方程组解集的结构¶
- 数域\(K\)上的\(n\)元齐次线性方程组\(AX=0\)的解集记为\(W\subset K^n\)
性质 1¶
- \(\forall \xi, \eta\in W, \xi+\eta\in W\)
性质 2¶
- \(\forall \xi\in W, k\in K, k\xi\in W\)
性质 3¶
- \(W\subset K^n\)是\(K^n\)的子空间
定理 1¶
- 数域\(K\)上齐次线性方程组有解的时候, 解空间\(W\)的维数满足:\(\dim W = n-\text{rank}(A)\)
- 把\(W\)的一个基称为解空间的一个基础解系
非齐次线性方程组解的结构¶
- 数域\(K\)上的\(n\)元非齐次线性方程组\(AX=B\)的解集记为\(U\subset K^n\)
性质 1¶
- 若\(\gamma, \delta\in U\), 则\(\gamma-\delta\in W\)
性质 2¶
- 若\(\gamma\in U, \eta\in W\), 则\(\gamma+\eta\in U\)
定理 1¶
- 数域\(K\)上的\(n\)元非齐次线性方程组\(AX=B\)的解集\(U=\gamma_0+W\)
- \(\gamma_0\in U\), 称为特解
- \(W\)是对应齐次线性方程组的解空间
- \(\gamma_0+W:= \{\gamma_0+\eta|\eta\in W\}\)
- 称为\(W\)型的一个线性流形, 或称其为\(W\)的一个陪集
U 的结构¶
- 设\(\eta_1, \cdots, \eta_{n-r}\)是对应齐次线性方程组\(AX=B\)的解空间\(W\)的一个基, 则对应非齐次线性方程组的解为\(\gamma_0+k_1\eta_1+\cdots+k_{n-r}\eta_{n-r}\), 其中\(\gamma_0\)是特解, \(k_1, \cdots, k_{n-r}\in K, r=\text{rank}(A)\)
子空间的运算¶
定理 1¶
- 设\(V\)是数域\(K\)上的线性空间, \(V_1, V_2\)都是\(V\)的子空间, 则\(V_1\cap V_2\)也是\(V\)的子空间
- 易证\(V_1\cap V_2\)对加法, 数乘封闭, 且非空(有零元), 所以是子空间
- (见线性子空间定理 1)
子空间运算¶
- 定义:\(\text{subspace}(V)\)为\(V\)的子空间集合
- 交运算:\(V_1\cap V_2 :=\{ \alpha|\alpha\in V_1, \alpha\in V_2 \}\)
- 运算封闭:\(\forall V_1, V_2\in \text{subspace}(V)\), 有\(V_1\cap V_2\in \text{subspace}(V)\)
- 交换律:\(V_1\cap V_2=V_2\cap V_1\)
- 结合律:\(V_1\cap(V_2\cap V_3)=(V_1\cap V_2)\cap V_3\)
- 有限交封闭:\(\bigcap\limits_{i=1}^sV_i\in \text{subspace}(V)\)
- 和运算:\(V_1+V_2:=\{ \alpha_1+\alpha_2|\alpha_1\in V_1, \alpha_2\in V_2 \}\)
- 运算封闭:\(\forall V_1, V_2\in \text{subspace}(V)\), 有\(V_1+V_2\in \text{subspace}(V)\)
- 交换律:\(V_1+V_2=V_2+V_1\)
- 结合律:\(V_1+(V_2+V_3)=(V_1+V_2)+V_3\)
- 有限和封闭:\(\sum\limits_{i=1}^sV_i\in \text{subspace}(V)\)
- \(\text{span}(\alpha)+\text{span}(\beta)=\text{span}((\alpha, \beta))\), 其中\((\alpha, \beta)=(\alpha_1, \cdots, \alpha_n, \beta_1, \cdots, \beta_m)\)
定理 2(子空间维数公式)¶
- 设\(V_1, V_2\)是\(V\)的有限维子空间
- \(\dim (V_1 + V_2) = \dim V_1+\dim V_2 - \dim V_1\cap V_2\)
推论 1¶
- \(\dim V_1+\dim V_2 = \dim(V_1+V_2)\iff V_1\cap V_2=\{\vec{0}\}\)
子空间直和¶
定义 1¶
- 设\(V_1, V_2\in \text{subspace}(V)\), 若\(\forall\alpha\in V_1+V_2, \exists!\alpha_1\in V_1, \exists!\alpha_2\in V_2, s.t.\;\alpha=\alpha_1+\alpha_2\), 则称\(V_1+V_2\)为直和, 记作\(V_1\oplus V_2\)
定理 1¶
- 设\(V_1, V_2\in \text{subspace}(V)\), 则以下等价
-
- \(V_1+V_2\)是直和
- \(\Downarrow:\)显然, 由定义
-
- 零向量表法唯一, \(i.e.\;\vec{0}=\alpha_1+\alpha_2, \alpha_1\in V_1, \alpha_2\in V_2\Rightarrow \alpha_1=\alpha_2=\vec{0}\)
- \(\Downarrow:\)如若不然\(\exists\alpha(\neq\vec{0})\in V_1\cap V_2, 0=\alpha+(-\alpha), \alpha\in V_1, -\alpha\in V_2\), 矛盾
-
- \(V_1\cap V_2=\{\vec{0}\}\)
- \(\circlearrowright:\)如若不然\(\exists\gamma\in V_1+V_2, s.t.\exists\alpha_1, \alpha_2\in V_1, \beta_1, \beta_2\in V_2, s.t.\gamma = \alpha_1+\beta_1=\alpha_2+\beta_2.\)并且\(\alpha_1\neq\alpha_2, \beta_2\neq\beta_2, i.e.:V_1 \ni(\alpha_1-\alpha_2)=-(\beta_1-\beta_2)\in V_2\Rightarrow \alpha_1-\alpha_2, \beta_1-\beta_2\in V_1\cap V_2 = \{\vec{0}\}\)这就导致了\(\alpha_1=\alpha_2, \beta_1=\beta_2\), 矛盾
-
\(\iff\):如果\(\alpha, \beta\)分别是\(V_1, V_2\)的基, 那么\(\alpha\cup\beta\)是\(V_1+V_2\)的基
定理 2¶
- \(V_1, V_2\)是有限维子空间, 则\(V_1+V_2 = V_1\oplus V_2\iff\dim (V_1+V_2) = \dim V_1+\dim V_2\)
定义 2¶
- 若\(V=V_1\oplus V_2\), 则称\(V_1\)是\(V_2\)的补空间
命题 1¶
- 设\(V\)是有限维的, 则每个子空间\(V_1\)在\(V\)中都有补空间
- 补空间不唯一
定义 3¶
- 设\(V_i\in \text{subspace}(V), i=1, 2, \cdots, m\), 若\(\forall\alpha\in V_1+\cdots V_m, \exists!\alpha_i\in V_i, i=1, 2, \cdots, m, s.t.\alpha = \sum\limits_{i=1}^m\alpha_i\), 则称\(V_1+V_2+\cdots+V_m=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_m\)
- 简记为\(\sum\limits_{i=1}^mV_i=\oplus_{i=1}^mV_i\)
定理 3¶
- \(V_i\in \text{subspace}(V)\), 下列命题等价
- \(\sum V_i=\oplus V_i\)
- \(\sum V_i\)中零向量表法唯一
- \(V_i\cap\sum\limits_{j\neq i} V_j=\{\vec{0}\}\)
- 设\(V_i\)的基是\(\alpha_i\), 则\(\bigcup\alpha_i\)是\(\sum V_i\)的基
定理 4¶
- \(V_i\in \text{subspace}(V), i=1, 2, \cdots, m\), 且\(V\)是有限维的, 那么\(\sum\limits_{i=1}^m V_i=\oplus_{i=1}^m V_i\iff\dim(\sum\limits_{i=1}^m V_i) = \sum\limits_{i=1}^m\dim V_i\)
线性空间的同构¶
- 把线性空间分成同构类, 同构类中的线性空间具有相同的性质
定义 1¶
- 设\(V, V'\)是数域\(K\)上的线性空间, 若\(\exists\varphi:V\rightarrow V'\), 是双射, 并且
-
- 保持加法:\(\varphi(\alpha+\beta)=\varphi(\alpha)+\varphi(\beta), \forall\alpha, \beta\in V\)
-
- 保持数乘:\(\varphi(k\alpha)=k\varphi(\alpha), \forall\alpha\in V, k\in K\)
- 称\(\varphi\)是线性空间\(V\)到\(V'\)的同构映射, 称\(V, V'\)是同构的, 记作\(V\cong V'\)
- 用一句话说就是:存在保持线性运算的双射
同构的性质¶
性质 1-5¶
- \(\varphi(\vec{0})=\vec{0}\)
- \(\varphi(0\vec{0})=0\varphi(\vec{0})=\vec{0}\)
- \(\varphi(-\alpha) = -\varphi(\alpha)\)
- \(\varphi(\sum k_i\alpha_i)=\sum k_i\varphi(\alpha_i)\)
- \(V\)中向量\(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\)线性相关\(\iff\) \(V'\)中\(\varphi(\alpha_1), \varphi(\alpha_2), \cdots, \varphi(\alpha_n)\)线性相关
- \(\exists k_i\in K.\text{不全为零}s.t.\sum k_i\alpha_i = \vec{0}\iff \varphi(\sum k_i\alpha_i) = \sum k_i\varphi(\alpha)=\vec{0}\)
- \(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\)是\(V\)的一个基, 那么\(\varphi(\alpha_1), \varphi(\alpha_2), \cdots, \varphi(\alpha_n)\)是\(V'\)的一个基
- 由上一条, \(\varphi(\alpha_1), \varphi(\alpha_2), \cdots, \varphi(\alpha_n)\)线性无关
- \(\forall\gamma\in V', \exists\alpha\in V(\text{满射}), s.t.\gamma = \varphi(\alpha), \exists k_i\in K, s.t.\alpha = \sum k_i\alpha_i\Rightarrow\gamma = \sum k_i\varphi(\alpha_i)\)
- 同构映射把基映射到基
定理 1¶
- 数域\(K\)上的两个有限维线性空间\(V, V'\)同构\(\iff\dim V = \dim V'\)
- \(\Rightarrow\)由 性质 5 得到
- \(\Leftarrow\)设\(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\)是\(V\)的基, \(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\)是\(V'\)的基, 那么定义\(\varphi :V\to V':\varphi(\alpha)=\varphi(\sum k_i\alpha_i)=\sum k_i\beta_i\), 可以证明\(\varphi\)是同构映射(双射且保持线性运算)
推论 1¶
- 数域\(K\)上任意一个\(n\)维线性空间\(V\)与\(K^n\)同构
- 上述性质 5 的证明中的映射把\(V\)中的向量映射到它在\(V\)中基下的坐标
命题 1¶
- 设\(\varphi\)是\(V\)到\(V'\)的同构映射, 设\(U\in \text{subspace}(V), \varphi(U)=\{\varphi(\alpha)|\alpha\in U\}\), 那么\(\varphi(U)\in \text{subspace}(V')\)且\(\dim U = \dim\varphi(U)\)
- \(\varphi(\vec{0})=\vec{0}\in\varphi(U)\)
- \(\varphi(\alpha)+\varphi(\beta)=\varphi(\alpha+\beta)\in\varphi(U)\)
- \(k\varphi(\alpha)=\varphi(k\alpha)\in\varphi(U)\)
映射的乘法¶
定义 1¶
- 设\(f:A\to B, g:B\to C\)是映射, 则称\(f\)与\(g\)的乘积映射为\((gf)=g\circ f:A\to C\)
- 映射乘法满足结合律
- 映射乘法不满足交换律
定义 2¶
- \(f:A\to A:f(a)=a, \forall a\in A\), 则称\(f\)是\(A\)上的恒等映射, 记作\(I_A\)
- 恒等映射满足恒等律:\(fI_A=I_Af=f\)
命题 1¶
- \(f:A\to B\), 则\(fI_A=f, I_Bf=f\)
定义 3¶
- \(f:A\to B, \(若\)\exists g:B\to A, s.t.gf=I_A, fg=I_B\), 则称\(f\)是可逆映射, 把\(g\)称为\(f\)的逆映射(唯一), 记作\(f^{-1}\)
定理 1¶
- \(f:A\to B\)可逆\(\iff f\)是双射
集合的划分, 等价关系¶
定义 1¶
- 集合\(S\)的一个划分是\(S\)的一个子集族\(\{S_i\}\), 满足
-
- \(\bigcup S_i = S\)
-
- \(S_i\cap S_j=\emptyset, i\neq j\)
如何给出集合的一个划分?
定义 2¶
- 设\(S\)为一非空集合, 则\(S\times S\)的一个子集\(W\)称为\(S\)上的一个二元关系, 若\((a, b)\in W\)时, 称\(a\)与\(b\)有\(W\)关系, 记作\(a\overset{W}{\sim}b\), 若不然则称\(a\)与\(b\)无\(W\)关系, 记作\(a\overset{W}{\nsim}b\)
定义 3¶
- \(S\)上的一个二元关系\(\sim\)如果满足
-
- 自反性:\(a\sim a\)
-
- 对称性:\(a\sim b\Rightarrow b\sim a\)
-
- 传递性:\(a\sim b, b\sim c\Rightarrow a\sim c\)
- 则称\(\sim\)是\(S\)上的一个等价关系
定义 4¶
- 设\(\sim\)是\(S\)上的等价关系, 给定\(a\in S\), 令\(\bar{a}:=\{b\in S|a\sim b\}\), 称\(\bar{a}\)为\(a\)的等价类.
- \(x\sim a\iff x\in\bar{a}\)
- \(a\in\bar{a}\), 称为等价类\(\bar{a}\)的代表元
性质 1-¶
- \(\bar{a}=\bar{b}\iff a\sim b\)
- \(\bar{a}\neq \bar{b}\Rightarrow \bar{a}\cap\bar{b}=\emptyset\)
定理 1¶
- 如果集合\(S\)有一个等价关系\(\sim\), 那么所有等价类组成的集合就是\(S\)的一个划分
线性空间的同构¶
- 设\(\Omega= \{\text{数域}K\text{上的线性空间}\}\), 定义\(\sim\)为\(V\sim V'\iff V\cong V'\), 那么\(\sim\)是\(\Omega\)上的等价关系.即线性空间的同构是等价关系
- 这个等价类称为同构类
- 所有同构类组成的集合就是\(\Omega\)的一个划分
- \(\Omega = \bigcup\limits_{n=0}^\infty \bar{K}^n\), 即同构类完全被维数确定
商空间¶
定义 1¶
- 集合\(S\)的一个划分也称为集合\(S\)的一个商集(由所有等价类组成的集合)
- 例如\(\mathbb{Z}_7=\{\bar{0}, \bar{1}, \cdots, \bar{6}\}\)
陪集¶
- 设\(V\)是数域\(K\)上的线性空间, \(W\in \text{subspace}(V)\), 定义\(\beta\sim\alpha\iff\beta-\alpha\in W\), 则\(\sim\)是\(V\)上的等价关系
- 证明
-
- 自反性:\(\alpha-\alpha=\vec{0}\in W\)所以\(\alpha\sim\alpha, \forall \alpha\in V\)
-
- 对称性:\(\beta-\alpha\in W\Rightarrow -(\beta-\alpha)=-\beta+\alpha = \alpha -\beta \in W\Rightarrow\beta\sim\alpha\Rightarrow\alpha\sim\beta\)
-
- 传递性:\(\alpha\sim\beta, \beta\sim\gamma\Rightarrow\alpha-\beta\in W, \beta-\gamma\in W\Rightarrow\alpha-\gamma = (\alpha-\beta)+(\beta-\gamma)\in W\Rightarrow\alpha\sim\gamma\)
-
- \(\bar{\alpha}=\{\beta\in V|\beta\sim\alpha\}=\{\beta\in V|\beta-\alpha=\eta\in W\}=\{\alpha+\eta|\eta\in W\}=\alpha+W\), 称为\(W\)的陪集, \(\alpha\)是陪集的代表元
性质¶
- \(\alpha+W=\beta+W\iff\alpha-\beta\in W\), 陪集代表不唯一
- \(\alpha\in W\iff \alpha+W=W\)
商集¶
- \(V/W:=\{\alpha+W|\alpha\in V\}\)称为\(V\)关于\(W\)的商集
- 即子空间\(W\)的陪集的并就是\(V\)关于\(W\)的商集
- 运算:
- \(\alpha+W+\beta+W=(\alpha+\beta)+W\)
- \(k(\alpha+W)=k\alpha+W\)
- 容易证明这些运算是良定义的
- \(W + (\alpha+W)=\alpha+W\), 从而\(W\)是\(V/W\)的零元
- 容易验证\(V/W\)是数域\(K\)上的线性空间, 把它称为商空间
定理 1¶
- 设\(V\)是数域\(K\)上的线性空间, \(W\in \text{subspace}(V)\), 那么\(\dim V/W = \dim V - \dim W\)
定理 2¶
- 若\(V/W=\text{span}(\beta_1+W, \beta_2+W, \cdots, \beta_t+W)\), 令\(U=\text{span}(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t)\), 则\(V=W\oplus U\), 且\((\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t)\)是\(U\)的一个基
- 找到商空间的基, 就可以对原空间做直和分解