行列式¶

2.1 \(n\)元排列¶

\(n\)级矩阵\(A=(a_{i,j})_{n\times n}\)的行列式为:\(\det(A)=\sum\limits_{j_1j_2\cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1,j_1}a_{2,j_2}\cdots a_{n,j_n}\)

代数余子式:\(A_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{i,j}\),其中\(M_{i,j}\)是\(A\)去掉第\(i\)行第\(j\)列后的\(n-1\)阶行列式

\(n\)级矩阵\(A\)的行列式等于任一行的各元素与其对应的代数余子式之和:\(\det(A)=a_{i,1}A_{i,1}+a_{i,2}A_{i,2}+\cdots+a_{i,n}A_{i,n}=\sum\limits_{j=1}^n a_{i,j}A_{i,j}\)

\(n\)阶矩阵\(A\)的行列式的第\(i\)行元素和第\(j\)行元素对应的代数余子式的乘积和为 0,即\(\sum\limits_{j=1}^n a_{i,j}A_{k,j}=0\)

\(\begin{vmatrix}1 & 1 & \cdots & 1\\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix}=\prod\limits_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)\)

\(AX=B\)的解\(x_i=\frac{\det(A_i)}{\det(A)}\),其中\(A_i\)是\(A\)的第\(i\)列元素换成\(B\)的元素后得到的矩阵
定理 1的充分性和定理 2 合起来称为 Cramer 法则

\(n\)级矩阵\(A\)中任取\(k\)行,\(k\)列,位于这些行和列的交点处的\(k^2\)个元素按原来的排列方法构成\(A\)的一个\(k\)级子式,记作\(A\left(\begin{matrix} i_1i_2\cdots i_k\\ j_1j_2\cdots j_k \end{matrix}\right)\),划去这\(k\)行\(k\)列后得到的\(n-k\)级矩阵的行列式称为其余子式,在余子式前面乘以\((-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_k+j_1+\cdots+j_k }\)得到代数余子式,记作\(A\left(\begin{matrix} i'_1i'_2\cdots i'_{n-k}\\ j'_1j'_2\cdots j'_{n-k} \end{matrix}\right)\),其中\((i'_1i'_2\cdots i'_{n-k})=(1,2,\cdots,n)-(i_1i_2\cdots i_k)\),\((j'_1j'_2\cdots j'_{n-k})=(1,2,\cdots,n)-(j_1j_2\cdots j_k)\)

在\(n\)阶矩阵\(A\)中取定\(i_1,i_2,\cdots,i_k\)行,则这\(k\)行元素形成的所有\(k\)阶子式与它们的代数余子式之和等于\(\det(A)\)
推论:分块矩阵行列式\(\begin{vmatrix}A & B\\ 0 & C\end{vmatrix}=\det(A)\det(C)\)