线性方程组¶
1.1 解线性方程组的矩阵消元法¶
研究问题:¶
- 线性方程组时候一定有解, 有解时有多少解
- 如何求线性方程组的解
- 有解时, 是否每一个解都满足实际需?
- 多个解之间的关系如何?
线性方程组的初等变换¶
- 把一个方程的倍数加到另一个方程上
- 交换两个方程的位置
-
用一个非零数乘一个方程
- 经过初等变换的方程组与原方程组同解
定义 1¶
- 由\(s\cdot m\)个数排成\(s\)行\(m\)列的数表称为\(s\times m\)矩阵, 其中的每一个数称为矩阵的元素, 第\(i\)行第\(j\)列的元素记为矩阵的\((i, j)\)元
矩阵的行初等变换¶
- 把一行的倍数加到另一行
- 交换两行
- 以非零数乘一行
定理 1¶
- 任一矩阵可以经过一系列初等行变换化成阶梯型矩阵, 并且进一步能化成简化行阶梯型矩阵
1.2 线性方程组解的情况及其判别准则¶
定理 1¶
- 系数和常数项为有理数(实数, 复数)的\(n\)元线性方程组解的情况有三种:
- 阶梯型方程组有"\(0=d\neq 0\)"的形式, 则方程组无解
- 否则, 若非零行数目\(r=n\), 则方程组有唯一解
-
不然\((r<n)\)方程组有无穷多解
-
推论1:\(n\)元齐次线性方程组有非零解的充要条件是他的系数矩阵经过初等变换化成的阶梯型矩阵中\(r<n\)
- 推论2:若\(n\)元齐次线性方程组方程的数目小于未知数的数目那么方程一定有非零解
1.3 数域¶
定义 1¶
- \(K\subset C\)如果满足:
- \(0, 1\in K\)
-
\(a, b\in K\Rightarrow a\pm b\in K\)若\(b\neq 0\), 则\(a\cdot b, \frac{a}{b}\in K\) 那么称\(K\)为一个数域
- 这里 0, 1实际上表示的加法单位元和乘法的单位元(以后会抽象的讨论)
命题 1¶
- 任一数域包含有理数域(即有理数域是最小的数域)
- 复数域是最大的数域
1.4 最小二乘解¶
-
对实矩阵 \(A\), 有 \(\text{rank}(A) = \text{rank}(A^TA)\), 对复矩阵有 \(\text{rank}(A) = \text{rank}(\overline{A}^TA)\)
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\(\text{对于任一方程组 }AX=b\text{, 最小二乘解一定存在, 且 }X_0\text{ 是最小二乘解当且仅当 }A^TAX=A^Tb\)