高等代数与解析几何¶

[!NOTE] 基于浙大高代讲义

上册第七章内积空间¶

内积有双线性性质
设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 是 $V$ 的一组标准基, 定义矩阵
\[A = \begin{pmatrix} (\varepsilon_1, \varepsilon_1) & (\varepsilon_1, \varepsilon_2) & \cdots & (\varepsilon_1, \varepsilon_n) \\ (\varepsilon_2, \varepsilon_1) & (\varepsilon_2, \varepsilon_2) & \cdots & (\varepsilon_2, \varepsilon_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (\varepsilon_n, \varepsilon_1) & (\varepsilon_n, \varepsilon_2) & \cdots & (\varepsilon_n, \varepsilon_n) \end{pmatrix}\]
为内积 $(.)$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的度量矩阵
若 $\alpha = (\varepsilon)X, \beta = (\varepsilon)Y$, 则 $(\alpha, \beta) = X^TAY$
- $(\varepsilon) = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n)$
Schmidt 正交化
给定 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$, 令
- $\beta_1 = \alpha_1$
- $\beta_n = \alpha_n - \sum\limits_{i=1}^{n-1} \frac{(\alpha_n, \beta_i)}{(\beta_i, \beta_i)}\beta_i$

定理 7.2.2¶

设 $V$ 是 $n$ 维线性空间
- $V$ 中任意两组标准正交基之间的过渡矩阵是正交的
- 从标准正交基过渡到另外一个基的矩阵是正交的, 那么其一定是标准正交基
- 一个 $n$ 阶实方阵是正交矩阵当且仅当其为标准正交基之间的过渡矩阵
- 一个 $n$ 阶实方阵是正交矩阵当且仅当其列向量组是标准正交基

上册第十章二次型¶

$f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum\limits_{i=1}^n a_xxx_i^2 + 2\sum\limits_{1\leq i<j\leq n}a_{ij}x_ix_j$ 称为二次型
- 可表示为 $X^TAX$ 的形式
为寻找线性变换 $X = PY$ 使得 $f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum\limits_{i=1}^n d_iy_i^2$, 称其为二次型的标准形
- 若 $\det P\neq 0$ 称其为非退化的, 否则称为退化的
配方法: 逐个对 $x_i$ 利用完全平方公式配方
- 若没有平方项目, 则利用平方差公式先构造平方项 $\begin{cases} x_1 = y_1-y_2 \\ x_2 = y_2 \\ x_i = y_ i & i\geq 3 \end{cases}$

定义 10.2.1¶

$A, B\in M_n$, 若 $\exists P\in M_n, \det P\neq 0$ 使得 $B = P^TAP$, 则称 $A, B$ 合同, 记作 $A\overset{T}{\sim}B$
- 容易验证合同关系是等价关系

定理 10.2.3¶

数域 $F$ 上任意 $n$ 阶对称矩阵都与一个对角阵合同
任意秩为 $r$ 的复矩阵合同于 $\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
任意秩为 $r$ 的实矩阵合同于 $\begin{pmatrix} E_p & 0 & 0 \\ 0 & -E_{r-p} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
- 标准项中的正项的个数与化简过程中的非退化的线性变换无关, 称 $p$ 为实二次型的正惯性指数, $r-p$ 为负惯性指数, $2p-r$ 为符号差
由于任一实二次型的矩阵都是对称的, 从而合同于一个对角阵, 于是存在线性替换使得二次型化为标准形
- $P^TAP =\text{diag}(d_1, \cdots, d_n), X=PY\implies f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum\limits_{i=1}^n d_iy_i^2$

定义 10.5.1¶

若 $X^TAX\geq 0, \forall X\in \mathbb{R}^n$, 则称 $A$ 为半正定矩阵(正定二次型)
- 若不等号严格成立, 则称为正定矩阵(正定二次型)
  - 同理有负定矩阵, 半负定矩阵
- 若否定矩阵, 则称其为不定的

定理 10.5.1¶

设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵, 则以下命题等价
- $X^TAX$ 正定($A$ 正定)
  - $\iff A$ 所有 $k$ 阶顺序主子式恒正
- $X^TAX$ 的正惯性指数为 $n$
- $A$ 的特征值都是正数
- $A$ 与单位矩阵合同
- $\exists B\in M_n$ 可逆, 使得 $A = B^TB$

[!NOTE] 若弱化 $r(A)=r$, 则对应的结论为

$X^TAX$ 半正定($A$ 半正定) $\iff X^TAX$ 的正惯性指数为 $r \iff A$ 的特征值都是非负数 $\iff A$ 与其等价标准形合同 $\iff \exists B\in M_n$ 可逆, 使得 $A = B^TB$

$n$ 阶实对称矩阵 $A$ 负定 $\iff A$ 的 $k$ 阶顺序主子式交替为正负 (符号为 $(-1)^k$)

定理 10.5.2¶

设 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 的全部特征值是 $\lambda_1\geq\lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_n\text{, 则}\\\max\limits_{X\in\mathbb{R}^n}\frac{X^TAX}{X^TX}=\lambda_1, \min\limits_{X\in\mathbb{R}^n}\frac{X^TAX}{X^TX}=\lambda_n$

正定二次型¶

定理 10.5.3¶

$f=X^TAX$ 为正定二次型的充要条件
- $A$ 合同于矩阵 $E$
- 存在可逆矩阵 $P$, 使得 $A = P^TP$
  - 从而 $A$ 一定是对称的
- $A$ 的特征值全为正数
- $A$ 的顺序(所有)主子式全为正

定理 10.5.4¶

$A$ 是正定矩阵, 则
- $a_{ii}>0, i=1, 2, \cdots, n$
- $2|a_{ij}| < a_{ii}+a_{jj}, i\neq j$
- $A$ 的所有元素中, 绝对值最大的元素一定在主对角线上而且为正数

半正定二次型¶

定理 10.5.5¶

$f=X^TAX$ 为半正定二次型的充要条件
- $A$ 合同于矩阵 $\begin{pmatrix} E_p & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
- $A$ 的特征值全为非负数
- $A$ 的所有主子式(不可以是顺序主子式)全为非负数
  - 如矩阵 $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$, 顺序主子式都是0, 但是负定
- 存在不列满秩的矩阵 $B_{n\times n}$, 使得 $A = B^TB$
- 存在行满秩矩阵 $C_{r\times n}$, 使得 $A = C^TC$

定理 10.5.6¶

$A$ 是半正定矩阵, 则
- 对角元非负
- $2|a_{ij}|\leq a_{ii}+a_{jj}, i\neq j$

定理 10.5.7¶

$\begin{aligned}&\text{考虑 }A\text{ 为实数域上的 }m\times n\text{ 的矩阵, 则}\\&1.\quad A^TA, AA^T\text{ 是半正定矩阵}\\&2.\quad A^TA\text{ 是正定矩阵当且仅当 }A\text{ 列满秩, }AA^T\text{ 正定当且仅当 }A\text{ 行满秩}\\&\text{且 }A^TA\text{ 对应的二次型为 }f(X)=\sum_{i=1}^n(a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n)^2\end{aligned}$

下册第二章多元多项式理论¶

对称多项式¶

\[\begin{cases} \sigma_1 = x_1+x_2+\cdots+x_n \\ \sigma_2 = x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_{n-1}x_n \\ \cdots \\ \sigma_n = x_1x_2\cdots x_n \end{cases}\]

为初等对称多项式, 其他对称多项式可以由初等对称多项式表示

计算方法¶

递推法
- 1. 考虑 $f$ 的首相, 形如 $A x_1^{m_1}x_2^{m_2}\cdots x_n^{m_n}$, 令 $g_1 =A \sigma_1^{m_1-m_2}\sigma_2^{m_2-m_3}\cdots \sigma_{n-1}^{m_{n-1}-m_n}\sigma_n^{m_n}$
- 1. $f_1 = f-g_1$, 则 $f_1$ 的首相次数小于 $f$, 重复上述步骤
待定系数法
- 1. 考虑 $f$ 的首相, 形如 $A x_1^{m_1}x_2^{m_2}\cdots x_n^{m_n}$, 有指数组
  2. \[\begin{cases} (m_1, m_2, \cdots, m_n) & \sigma_1^{m_1-m_2}\sigma_2^{m_2-m_3}\cdots \sigma_{n-1}^{m_{n-1}-m_n}\sigma_n^{m_n} \\ (m_1-1, m_2+1, \cdots, m_n) & \sigma_1^{m_1-1 - (m_2+1)}\sigma_2^{m_2+1-m_3}\cdots \sigma_{n-1}^{m_{n-1}-m_n}\sigma_n^{m_n} \\ \cdots & \cdots \end{cases}\]
- 于是 $f = \sum A_i \sigma_1^{i_1}\sigma_2^{i_2}\cdots \sigma_n^{i_n}$

判别式¶

结式¶

设 $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0, g(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x + b_0$, 称

\[R(f, g): = \begin{pmatrix} a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ b_m & b_{m-1} & \cdots & b_1 & b_0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_m & b_{m-1} & \cdots & b_1 & b_0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & b_m & b_{m-1} & \cdots & b_1 & b_0 \end{pmatrix}\]

为 $f, g$ 的结式, 记作 $R(f, g)$

[!NOTE] $f$ 和 $g$ 有非常数的公因式当且仅当 $R(f, g) = 0$

若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是 $f$ 的根, $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m$ 是 $g$ 的根, 则
- \[R(f, g) = a_n^mb_m^n\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^m(\alpha_i-\beta_j)\]
$f$ 的判别式为
- \[D(f) = \prod\limits_{1\leq i<j\leq n}(\alpha_i-\alpha_j)^2\]
- $f$ 有重根当且仅当 $D(f) = 0$
- 其还可以表示为
  - \[D(f) = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_n^{-(2n-1)} R(f, f')\]

下册第五章线性映射(续)¶

定义 5.1.1 正交变换¶

$\underline{A}$ 是正交变换 $\iff \forall\alpha, \beta : (\underline{A}\alpha, \underline{A}\beta) = (\alpha, \beta)$

定义 5.1.2 镜面反射¶

$\underline{A}$ 是镜面反射 $\iff \forall\alpha : \underline{A}(\alpha) = \alpha - 2(\alpha, \eta)\eta$, 其中 $\eta$ 是单位向量

下册第七章 Jordan 标准形¶

定理 7.2.5 Jordan-Chevalley 分解¶

设 $\underline{A}$ 是 $\mathbb{C}$ 上有限维线性空间 $V$ 上的线性变换, 则
- $\underline{A}$ 可以唯一的分解为 $\underline{A} = \underline{A}_s + \underline{A}_n$, 其中 $\underline{A}_s$ 是可对角化, $\underline{A_n}$ 幂零, 且 $\underline{A_s}\underline{A_n}=\underline{A_n}\underline{A_s}$
- 存在 $f, g\in \mathbb{C}[x]$ 且常数项为 $0$, 使得 $\underline{A}_s = f(\underline{A}), \underline{A}_n = g(\underline{A})$

定义特征子空间, 根子空间¶

$V_{\lambda_i} := \{v\in V|(\underline{A} - \lambda_i \underline{I})v\}$ 称为 $\lambda_i$ 的特征子空间
$\overline{V}_{\lambda_i} := \{v\in V|(\underline{A}-\lambda_i\underline{I})^kv = 0, k\in \mathbb{N}\}$ 称为 $\lambda_i$ 的根子空间

复数域上有限维线性空间上的线性变换可对角化当且仅当其特征子空间等于根子空间
对应的, 矩阵可对角化当且仅当其特征子空间等于根子空间

$n$ 维复矩阵 $A$ 的最小多项式等于其特征矩阵 $xE-A$ 的最高次不变因子

称 $\lambda$ 矩阵 $\lambda E-A$ 的行列式因子, 不变因子, 初等因子等为 $A$ 的行列式因子, 不变因子, 初等因子
行列式因子 $D_k(\lambda)$ :非零(如果有, 不然为 $0$) $k$ 阶子式的最大公因式
不变因子 $d_k(\lambda)=\frac{D_k(\lambda)}{D_{k-1}(\lambda)}$
初等因子 $f_{k, i}(\lambda):$ $d_k(\lambda)$ 的不同因子(带幂)
- 计算的时候充分考虑不同行列式(不变)因子之间的整除性质

$A$ 的最小多项式就是 $\lambda E-A$ 的最后一个不变因子

$K\text{ 上矩阵 }A$有 $\text{Jordan}$ 标准型当且仅当其初等因子都是一次项的幂次乘积

数域 $K$ 上 $n$ 阶矩阵 $A, B$ 没有公共复特征值, 若其标准形分别为 $J_1, J_2$, 则分块矩阵 $\begin{pmatrix} A & C \\ O & B\end{pmatrix}$ 的 $\text{Jordan}$ 标准形为 $ \text{diag}(J_1, J_2)$

$V = \text{Ker}{A^n}\oplus \text{Im}(A^n)$