矩阵性质¶
幂等矩阵¶
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\(A^2=A\)
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幂等矩阵的特征值只能是 \(0\) 和 \(1\)
- \(A^2\xi = \lambda^2\xi = A\xi = \lambda\xi\implies \lambda^2=\lambda\implies \lambda=0, 1\)
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从而幂等矩阵的行列式只能是 \(0\) 或 \(1\)
- \(\exists Q\in M_n(\mathbb{C}), Q^{-1}AQ=\begin{pmatrix}I_r&O\\O&O\end{pmatrix}\)
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可逆的幂等矩阵是单位矩阵
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幂等矩阵的秩等于它的迹
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\[\text{rank}(A)=\text{tr}(A)\]
- 设 \(A\) 是 \(\text{Jordan}\) 标准型 \(J\), 由于 \(J^2=J\), 从而 \(J\) 的特征值为 \(0\) 的 \(\text{Jordan}\) 块是一阶的, 故有 \(\text{rank}(J)=\text{tr}(J)\)
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\(\iff \text{rank}(A) + \text{rank}(I-A) = n\)
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幂等矩阵通过秩划分成相似类
- 任意秩为 \(r\) 的幂等矩阵 \(A\) 都相似于 \(\text{diag}(I_r, O)\)
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幂等变换就是投影变换
- 设 \(\varphi:V\to V\) 是幂等变换, 那么 \(V = U\oplus W, U=\text{Im}\varphi=\text{Ker}(I-\varphi), W = \text{Im}(I-\varphi)=\text{Ker}\varphi\)
幂零矩阵¶
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\(A^k=0\)
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\(\iff A\) 的特征值都是 \(0\)
- \(A^k\xi = \lambda^k\xi = 0\implies \lambda^k=0\implies \lambda=0\)
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因此求证一个矩阵的特征值都是 \(0\) 等价于证明它是幂零矩阵
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\(\iff A^{\text{rank}(A)+1}=0\)
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\(\iff \forall k \text{tr}(A^k)=0\)
零矩阵¶
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\(\text{tr}(AA^T)\geq 0\) 当且仅当 \(A=O\) 时取等号
- \(\implies BB^T=O \iff \text{tr}(BB^T)=0\)
正定实对称矩阵¶
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一般讨论对称的
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\(A\) 是正定矩阵
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\(\iff A\) 和单位矩阵合同
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\(\iff \exists P\) 可逆使得 \(A=P^TP\)
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\(\iff A\) 的特征值都是正的
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\(\forall X, X^TAX>0\)
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\(\iff A\) 的所有主子式都是正的
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\(\implies A\) 中绝对值最大的元素只能在主对角线上
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半正定实对称矩阵¶
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\(A\) 是半正定矩阵
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\(\iff A\) 和矩阵 \(\begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix}\) 合同
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存在矩阵 \(P\) 使得 \(A =P^TP\)
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\(A\) 的特征值非负
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\(A\) 的顺序主子式非负
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从 \(\alpha^T A\alpha=0\) 可以推出 \(A\alpha = 0\)
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若 \(M=\begin{pmatrix} A & B \\ C & D\end{pmatrix}\) 是半正定矩阵, 则 \(A, D\) 主对角占优
正交矩阵¶
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\(A\) 是正交矩阵
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\(\implies A^TA=I\)
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\(\implies A^{-1}=A^T\)
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\(\implies A\) 的行列式是 \(1\) 或 \(-1\)
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\(\implies A\) 的特征值是复数模为 \(1\) 的复数
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矩阵的分解¶
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若 \(A\) 是 \(n\) 阶实矩阵. 则存在 \(n\) 阶正交矩阵 \(Q\) 和半正定实对称矩阵 \(S\) 使得 \(A=QS\)
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Schur 定理
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\(n\) 阶实矩阵相似于以下分块上三角矩阵
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\[C=\begin{pmatrix}A_1&&&&&&\\&\ddots&&& * &&\\&&A_r&&&&\\&&&c_1&&&\\&&&&\ddots&&\\&&&&&c_k\end{pmatrix}\]
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其中 \(A_i\) 是二阶实矩阵, 特征值形如 \(a\pm bi\), \(c_j\) 是实数
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