最小多项式¶
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设 \(A\) 的最小多项式是 \(m(\lambda)\), 令 \(\mathbb{F}[A] = \{f(A):f(x)\in \mathbb{F}[x]\}\), 则有
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\[\text{dim}( \mathbb{F}[A]) = \text{deg}(m(\lambda))\]
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相似的矩阵有相同的最小多项式
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\(A,A^T\) 的最小多项式相同
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设 \(A_i\) 的最小多项式是 \(m_i(\lambda)\), 则 \(\text{diag}(A_1,A_2,\cdots,A_k)\) 的最小多项式是 \(lcm(m_1(\lambda),m_2(\lambda),\cdots,m_k(\lambda))\)