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点集拓扑

幂集

集合 \(A\) 的幂集是由 \(A\) 的所有子集构成的集合，记作 \(\mathcal{P}(A)\)。

指派法则

指派法则是两个集合的笛卡尔积 \(C\times D\) 的一个子集 \(r\), 该子集满足: \(C\) 的每一个元素至多是 \(r\) 中一个有序偶对的第一个坐标

函数

函数 \(f\) 是一个指派法则 \(r\), 连通包含 \(r\) 的像集的集合 \(B\), 法则 \(r\) 的定义域,像集称为函数 \(f\) 的定义域和值域

关系

集合 \(A\) 上的关系是 \(A\times A\) 的一个子集 \(C\) : \(x,y\) 有关系 \(C\) 当且仅当 \((x,y)\in C\), 记作 \(xCy\)

等价关系

关系 \(C\) 是等价关系当且仅当 \(C\) 是自反的,对称的和传递的

序关系

集合 \(A\) 的关系 \(C\) 如果满足

  • 可比较性: \(\forall x,y\in A\), 要么 \(xCy\), 要么 \(yCx\) (或者两者都成立)
  • 非自反性: \(\forall x\in A\), \(x\not Cx\)
  • 传递性: \(\forall x,y,z\in A\), 如果 \(xCy\) 且 \(yCz\), 那么 \(xCz\)

那么称 \(C\) 是 \(A\) 上的序关系

开区间

设 \(X\) 是一个集合, \(<\) 是 \(X\) 上的一个序关系, 对于 \(a<b\), 记 \((a,b)=\{x\in X|a<x<b\}\) 称为 \(X\) 中的开区间, 如果这个开区间(集合)是空的, 就称 \(a\) 是 \(b\) 的紧接前元, \(b\) 是 \(a\) 的紧接后元

  • 例如 \(X=\mathbb{Z}\), \(<\) 是自然序, \((1,3)=\{2\}\) 是 \(X\) 中的一个开区间

线性连续统

满足以下两个条件的具有全序关系 \((<)\) 的集合 \(X\) 称为线性连续统

  • 全序关系 \(<\) 有上确界性质 (即集合 \(A\) 的每个在 \(A\) 中有上界的子集在 \(A\) 中有上确界)

    • 如 \(A=(-1,1)\) 有上确界性质, \(B=(-1,0)\cup (0,1)\) 没有上确界性质

  • 若 \(a,b\in X\), 且 \(a<b\), 则存在 \(c\in X\), 使得 \(a<c<b\)

良序集

具有全序关系 \(<\) 的集合 \(X\) 称为良序的 \((\text{well ordered})\) 集, 如果 \(X\) 的每个非空子集都有最小元

Zorn 引理

设 \(X\) 是一个非空的(严格)偏序集, 如果 \(X\) 中的每个全序子集有上界(下界), 那么 \(X\) 中有极大(极小)元

拓扑

集合 \(X\) 上的一个拓扑 \(\mathcal{T}\) 是 \(X\) 的子集族, 满足

  • \(\emptyset,X\in\mathcal{T}\)
  • 任意并封闭
  • 有限交封闭

拓扑空间

一个指定了拓扑的集合称为拓扑空间

确切的说, 一个拓扑空间是一个有序偶对 \((X,\mathcal{T})\), 其中 \(X\) 是一个集合, \(\mathcal{T}\) 是 \(X\) 上的一个拓扑

一个集合称为拓扑空间的开集, 如果它是拓扑空间的拓扑的元素

[!NOTE] 若 \(X-U\) 是开集, 那么 \(U\) 是闭集

因此我们可以称拓扑空间为一个集合 \(X\) 连同它的开集的一个族, 使得空集和 \(X\) 是开集, 且任意并封闭, 有限交封闭

  • \(X\) 的幂集是一个拓扑空间, 称为离散拓扑空间
  • \(\{\emptyset,X\}\) 是一个拓扑, 称为密着拓扑或者平凡拓扑

基

设 \(X\) 是一个集合, \(\mathcal{B}\) 是 \(X\) 的子集族, 如果 \(\mathcal{B}\) 满足

  • \(\forall x\in X\), \(\exists B\in\mathcal{B}\), 使得 \(x\in B\)

  • 若 \(x\in B_1\cap B_2\), 则存在 \(B_3\in\mathcal{B}\), 使得 \(x\in B_3\subset B_1\cap B_2\)

那么称 \(\mathcal{B}\) 是 \(X\) 上某拓扑的基

基生成的拓扑

若 \(\forall x\in U,\exists B\in \mathcal{B},s.t.x\in B\subset U\), 那么称 \(U\) 是 \(X\) 的开集(也就是拓扑中的元素)

  • \(\mathcal{T}= \left\{ \bigcup\limits_{B \in B'} B : B' \subset \mathcal{B} \right\}\), 即 \(\mathcal{T}\) 是 \(\mathcal{B}\) 元素的所有可能的并组成的族

拓扑基

拓扑基是 \(\mathcal{T}\) 的一个子集 \(\mathcal{C}\), 满足 \(\forall U\in\mathcal{T},\forall x\in U\), \(\exists C\in\mathcal{C}\), 使得 \(x\in C\subset U\)

  • 实数轴上的标准拓扑的基是开区间的集合
  • 实数轴上的下限拓扑的基是左闭右开区间的集合

拓扑子基

拓扑子基 \(\mathcal{S}\) 是 \(X\) 的子集族, 其并等于 \(X\), 由 \(\mathcal{S}\) 生成的拓扑是所有 \(\mathcal{S}\) 的有限交的并组成的族

序拓扑

设 \(X\) 是元素多于一个的有全序关系的集合, 则

  • \(X\) 的所有开区间
  • 所有形如 \([a_0,b)\) 的区间, 其中 \(a_0\) 是 \(X\) 的最小元(如果存在)
  • 所有形如 \((a,b_0]\) 的区间, 其中 \(b_0\) 是 \(X\) 的最大元(如果存在)

构成某个拓扑的基, 这个拓扑称为 \(X\) 上的序拓扑

积拓扑

设 \(X,Y\) 是两个拓扑空间, \(X\times Y\) 的子集族 \(\mathcal{B}=\{U\times V|U \text{是 X 的开集},V \text{是 Y 的开集} \}\) 是 \(X\times Y\) 的一个基, 由 \(\mathcal{B}\) 生成的拓扑称为 \(X\times Y\) 的积拓扑

子空间拓扑

设 \((X,\mathcal{T})\) 是一个拓扑空间, \(Y\) 是 \(X\) 的子集, \(Y\) 上的拓扑 \(\mathcal{T}_Y=\{Y\cap U|U\in\mathcal{T}\}\) 称为 \(X\) 的子空间拓扑

\(\text{Hausdorff}\) 空间

若对于拓扑空间中任意两个不同的点 \(x,y\), 存在 \(x\) 的一个邻域 \(U\), 存在 \(y\) 的一个邻域 \(V\), 使得 \(U\cap V=\emptyset\), 那么称该拓扑空间是 \(\text{Hausdorff}\) 空间

  • \(\text{Hausdorff}\) 空间是中有限集都是闭的

  • \(T_1\) 公理 : 空间中任何两个点都存在不包含对方的领域

连续函数

\(f\) 是连续函数若开集的原像是开集

同胚

若 \(X,Y\) 是拓扑空间, \(f:X\to Y\) 是双射, 且 \(f\) 和 \(f^{-1}\) 都是连续函数, 那么称 \(f\) 是 \(X\) 和 \(Y\) 之间的同胚映射

粘结引理

设 \(X=A\cup B,\) 且 \(A,B\) 都是 \(X\) 中的闭集, 若连续函数 \(f:A\to Y\) 和 \(g:B\to Y\) 在 \(A\cap B\) 上相等, 那么存在连续函数 \(h:X\to Y,s.t. h_A=f,h_B=f\)

度量拓扑

给定一个度量 \(d\), 全体 \(\varepsilon-\) 球 \(B(x,\varepsilon)\) 组成一个拓扑的基, 这个拓扑称为度量拓扑

连通空间

若拓扑空间 \(X\) 不能表示为两个非空不相交开集的并, 那么称 \(X\) 是连通的

道路连通

\(x\) 到 \(y\) 的一条道路是指连续映射 \(f:[a,b]\to X\), 使得 \(f(a)=x,f(b)=y\), 那么称 \(x\) 和 \(y\) 是道路连通的

如果 \(X\) 中任意两点都是道路连通的, 那么称 \(X\) 是道路连通的

[!NOTE] 道路连通空间肯定是连通的, 但是连通空间不一定是道路连通的

\(\{(x,y):y=\sin\frac{1}{x},x\in (0,1)\} \cup \{(0,y),-1\leq y\leq 1\}\) 是连通的, 但是不是道路连通的

分支

若存在包含 \(x,y\) 的连通子空间, 就规定 \(x\sim y\), 每一个等价类称为一个分支

道路连通分支

若存在 \(x\) 到 \(y\) 的道路, 就规定 \(x\sim y\), 每一个等价类称为一个道路连通分支

紧致空间

若 \(X\) 的任意开覆盖都有有限子覆盖, 那么称 \(X\) 是紧致的

紧致空间的每一个闭子集都是紧致的

\(\text{Hausdorff}\) 空间的每一个闭子集都是紧致的