抽象代数¶
群¶
定义¶
群是一个具有满足结合律的合成法则的集合 \(G\), 它有单位元, 并且每个元素都有逆元.
子群¶
运算封闭并且包含单位元和逆元的子集.
阶¶
群的阶数就是群的元素个数.(当然可以是无穷的)
循环群¶
由一个元素生成的群.
正规子群¶
对于群 \(G\) 和它的子群 \(N\), 如果 \(gNg^{-1} = N\), 那么 \(N\) 是 \(G\) 的正规子群.
群的中心¶
\(Z(G) = \{g \in G | gx = xg, \forall x \in G\}\) 即和所有元素都可交换的元素构成的集合
陪集¶
对于群 \(G\) 和它的子群 \(H\), \(aH = \{ah | h \in H\}\) 是 \(G\) 的左陪集, \(Ha = \{ha | h \in H\}\) 是 \(G\) 的右陪集.
群作用¶
群的类方程¶
\(|G| = \sum\limits_{\text{共轭类}} |C|\)
西罗定理¶
设 \(G\) 是一个阶为 \(n\) 的群, \(p\) 是一个整除 \(n\) 的素数, 且 \(p^e\) 是 \(p\) 整除 \(n\) 的最高次幂, 那么 \(n=p^em\)
-
西罗第一定理: \(G\) 中存在一个阶为 \(p^e\) 的子群
- 设 \(H\) 是 \(G\) 的一个阶为 \(p^e\) 的子群, 称它为 \(G\) 的西罗 \(p-\) 子群 (或者就称为西罗子群)
-
西罗第二定理: 设 \(K\) 是 \(G\) 的子群, 并且 \(p\) 整除 \(|K|\), \(H\) 是 \(G\) 的西罗 \(p-\) 子群 ,那么存在一个 \(H\) 的共轭群 \(H'=gHg^{-1}\) 使得 \(K \cap H'\) 是 \(K\) 的一个西罗子群
- 所有 \(G\) 的西罗 \(p-\) 子群都是共轭的
-
西罗第三定理: 设 \(s\) 是 \(G\) 的西罗 \(p-\) 子群的个数, 那么 \(s\) 整除 \(m\) 且模 \(p\) 同余于 \(1\)
- \(s\mid m,s \equiv 1 \mod p\)
环¶
定义¶
环是一个集合 \(R\) 和两个二元运算 \(+\) 和 \(\cdot\) 的组合, 满足以下条件:
- \(R\) 对于 \(+\) 构成一个阿贝尔群
- 对乘法结合, 有单位元
- 满足分配律(左右的)
一般我们说的都是交换环, 即乘法满足交换律.
理想¶
对于环 \(R\) 和它的子集 \(I\), 如果 \(I\) 对于 \(+\) 封闭, 并且对于任意 \(r \in R\) 和 \(a \in I\), 有 \(ra \in I\), 那么 \(I\) 是 \(R\) 的一个理想.
[!NOTE] 加法子群并且对 \(R\) 乘法封闭
主理想¶
由 \(a\in I\) 一个元素生成集合 \(aR = \{ar | r \in R\}\) 称主理想.