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复变函数

解析函数定义

\(f\) 在 \(z_0\in \Omega\) 处解析，如果下列极限收敛

\[\lim\limits_{h\to 0} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\]

也就是解析等价于复可微

整函数

整函数是定义在整个复平面上的解析函数

柯西黎曼方程

函数 \(F(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)\) 在 \(P_0\) 处可微当且仅当 存在线性变换 \(J:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2\) 使得

\[\frac{F(P_0+H))-F(P_0)}{H}=J(H)+o(|H|)\]

那么 \(J\) 就是 \(F\) 在 \(P_0\) 处的导数

事实上如果 \(F\) 在 \(P_0\) 处可微，那么有以下条件成立

  • \(f'=\frac{\partial f}{\partial x}\)

  • \(f'=\frac{1}{i}\frac{\partial f}{\partial y}\)

    • 那么 \(\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{i}\frac{\partial f}{\partial y}\)

柯西黎曼方程:

\[\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\]
\[\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\]

\(f=u+iv\) 全纯的充分条件

  • 如果\(u,v\) 连续可微并且满足柯西黎曼方程，那么 \(f\) 在 \(z_0\) 处全纯

幂级数收敛半径

\[\frac{1}{R}=\limsup |a_n|^{1/n}\]

古萨定理

全纯函数在闭合三角形上的积分是0

  • 证明: 分割三角形, 然后用全纯定义放缩
    • image_2024-07-03-09-45-30
    • image_2024-07-03-09-45-49

Morera定理

如果 \(f\) 在 \(\Omega\) 上连续并且对于 \(\Omega\) 上的任意三角形有 \(\oint_{\gamma} f(z)dz=0\), 那么 \(f\) 在 \(\Omega\) 上全纯

柯西定理

\[\oint_{\gamma} f(z)dz=0\]

柯西积分公式

若 \(f\) 在一个包含圆 \(C\) (取正向方向) 的区域上全纯, 那么对于任意 \(z\in C\), 有

\[f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta\]

  • 证明: 考虑 \(F(\zeta)=\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\), 在下面玩具曲线上的积分

    • image_2024-07-03-09-47-08

[!NOTE] 在复变函数中, 解析函数沿着闭曲线的积分是0, 实际上如果让虚部恒等于0, 那么积分退化成实数轴上的往返积分, 结果也是0.

在复变中, 全纯意味着无穷次可微

\[f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{C} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}d\zeta\]

柯西不等式

\[|f^{(n)}(z)|\leq \frac{n!}{R^n}\sup |f|\]
幂级数展开推导
\[\frac1{\zeta-z}=\frac1{\zeta-z_0-(z-z_0)}=\frac1{\zeta-z_0}\frac1{1-\left(\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}\right)}\]

后者是一个几何级数, 再利用柯西积分公式

\[f(z)=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac1{2\pi i}\int_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}\:d\zeta\right)\cdot(z-z_0)^n\]

刘维尔定理

有界整函数是常值函数

  • 证明: 由柯西不等式立即得到
\[|f'(z)|\leq \frac{B}{R}\]

代数基本定理

每一个 \(n\) 次复数系数多项式都有 \(n\) 个根

  • 证明: 先证明有一个根, 然后用多项式除法, 递归证明

    • 若 \(P(z)\) 没有根, 那么 \(1/P(z)\) 有界并且是整函数, 由刘维尔定理, \(1/P(z)\) 是常数, 矛盾

获得全纯函数的方法

  • 一致收敛的全纯函数列的极限是全纯函数(导函数也对应收敛)

  • 通过积分得到全纯函数

对称原理

若 \(f^+,f^-\) 分别在上半平面和下半平面上全纯, 且在实轴上连续, 并且 \(f^+(x)=f^-(x),x\in \mathbb{R}\), 那么可以得到一个新的全纯函数在 \(\mathbb{C}\) 上全纯

\[f=\begin{cases}f^+(z),Im z\geq0\\f^-(z),Im z<0\end{cases}\]

奇点

孤立奇点

若 \(f\) 在 \(z_0\) 的某个邻域上全纯, 但在 \(z_0\) 处不全纯, 那么称 \(z_0\) 是 \(f\) 的孤立奇点

例如 \(f(z)=\frac{1}{z}\), \(z=0\) 是孤立奇点

本性奇点

若 \(f\) 在 \(z_0\) 的任意邻域上都有无穷多个奇点, 那么称 \(z_0\) 是 \(f\) 的本性奇点

例如 \(f(z)=e^{1/z}\), \(z=0\) 是本性奇点

或者 \(f(z)=\frac{1}{\sin\frac{1}{z}}\), \(z=0\) 是本性奇点

极点

若 \(f\) 在 \(z_0\) 的某个邻域上全纯, 且在 \(z_0\) 处有有限阶的极点, 那么称 \(z_0\) 是 \(f\) 的极点

  • 一个充要条件是 \(z_0\) 是 \(f\) 的极点 \(\iff |f|\to \infty, z\to z_0\)

  • 并且 \(f=\sum_{n=-m}^\infty a_n(z-z_0)^n\), \(a_{-m}\neq 0\) 其中 \(m\) 称为极点的阶数

    • 这里 \(\sum\limits_{n=-m}^{-1} a_n(z-z_0)^n\) 称为主部, \(a_{-1}\) 称为留数, 记为 \(res f= a_{-1}\)

我们有

\[\oint_{C} f(z)dz=2\pi i\cdot \text{res} f\]

  • 计算留数的方法

    • 单极点: \(\text{res} f=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)\)
    • \(n\) 阶极点:\(\text{res} f=\lim\limits_{z\to z_0}\frac{1}{(n-1)!}(\frac{d}{dz})^{n-1}[(z-z_0)^nf(z)]\), 这里 \(n\) 是极点的阶

留数定理

设 \(f\) 在 \(z_0\) 的某个邻域上除了有限个极点外全纯, 那么

\[\oint_{\gamma} f(z)dz=2\pi i\sum_{k=1}^n \text{res} f(z_k)\]

[!NOTE] 于是判断函数在某个点的性质, 只需要计算极限 \(\lim_{z\to z_0}f(z)\), 如果是有限值, 那么就是全纯的, 如果没有定义但是在领域上有界, 那么就是可去奇点, 如果无界就是极点, 都不是那么就是本性奇点

Casorati-Weierstrass 定理

若 \(f\) 在 \(z_0\) 的某个邻域上全纯, 且 \(z_0\) 是 \(f\) 的本性奇点, 那么 \(f\) 在 \(z_0\) 的任意邻域中的像集是稠密的(可以取到全体复值)

亚纯函数

除去可列个极点外全纯的函数称为亚纯函数

  • 我们称 \(f\) 在无穷处有极点, 如果 \(f(1/z)\) 在 \(z=0\) 处有极点
  • 在扩展复平面上(包括无穷点)亚纯函数是有理函数

幅角原理

设 \(f\) 亚纯, 在 \(C\) 上没有零点和极点, 那么

\[\frac{1}{2\pi i}\oint_{C} \frac{f'(z)}{f(z)}dz=N-P\]

其中 \(N\) 是 \(f\) 在 \(C\) 内部的零点个数(按重数计), \(P\) 是 \(f\) 在 \(C\) 内部的极点个数(按重数计)

[!NOTE] 极点的重数就是他的阶数

Rouché定理

设 \(f,g\) 在 \(C\) 及其内部全纯, 且 \(|f(z)|>|g(z)|,z\in C\), 那么 \(f\) 和 \(f+g\) 在 \(C\) 内部有相同个数的零点

开映射定理

若 \(f\) 在 \(\Omega\) 上全纯, 且 \(f\) 在 \(\Omega\) 上非常值, 那么 \(f\) 将开集映射为开集

最大模原理

若非常值函数 \(f\) 在 \(\Omega\) 上全纯, 那么 \(|f(z)|\) 在 \(\Omega\) 上没有最大值

[!NOTE] 也就是在开集上取不到最值

对数函数

主支对数函数是 \(f(z)=\log|z|+i\arg z\), 其中 \(\arg z\) 是 \(z\) 的辐角并且满足 \(-\pi<\arg z\leq \pi\)

平均值定理

\[f(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+re^{i\theta})d\theta\]

傅里叶变换

\[\hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-2\pi i x\xi}dx\]
\[f(x)=\int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\xi)e^{2\pi i x\xi}d\xi\]

复数形式的傅里叶展开

\[f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{inx}\]

其中 \(c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-inx}dx\)

\[C_n=\begin{cases}\frac{a_n-ib_n}{2} & n\geq 1\\ \frac{a_0}{2} & n=0\\ \frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2} & n\leq -1\end{cases}\]

整函数

Jensen 公式

设 \(f\) 在包含圆盘的闭包上的一个区域上全纯, 并且 \(f\) 在圆盘边界上没有零点, 且 \(f(0)\neq 0\), 若 \(z_1,z_2,\cdots,z_n\) 是 \(f\) 在圆盘内的零点, 那么

\[\log|f(0)|=\sum_{k=1}^n \log\frac{|z_k|}{R} + \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log|f(Re^{i\theta})|d\theta\]

函数的阶

整函数 \(f\) 的阶: \(\rho_f=\inf\{\rho:\exists A,B,s.t. |f(z)|\leq Ae^{B|z|^\rho}\}\)

Hadamard 定理

设整函数 \(f\) 的阶为 \(\rho\), 且 \(k\) 满足 \(k\leq \rho< k+1\), 用 \(a_1,a_2,\cdots\) 表示 \(f\) 的非零零点,那么有

\[f(z)=e^{P(z)}z^m\prod_{n=1}^\infty E_k\left(\frac{z}{a_n}\right)\]

其中 \(P(z)\) 是次数不超过 \(k\) 的多项式, \(m\) 是 \(z=0\) 作为零点的重数, \(E_k(z)=(1-z)e^{z+\cdots+z^k/k},E_0(z)=(1-z)\)

伽马函数, 黎曼 \(\zeta\) 函数

伽马函数

\[\Gamma(s)=\int_0^\infty e^{-t}t^{s-1}dt\]

可以用 \(\Gamma(s)=\frac{\Gamma(s+1)}{s}\) 递归定义 \(\{-\infty,\cdots,-3,-2,-1\}\) 的函数值

\[\Gamma(-n)=\frac{(-1)^n}{n!}\]

\(\zeta\) 函数

\[\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}=\prod_{p\text{ prime}}\frac{1}{1-p^{-s}}\]